Задачи по резервированию (2). Вероятность безотказной работы Р
 Скачать 468.53 Kb.
|
1 2 Задание 6 Основная функционально-необходимая система представляет собой последовательное (в смысле надежности) соединение элементов. Число элементов n. Интенсивность отказов у каждого из элементов равна . Определить показатели надежности системы без резервирования и при различных методах резервирования на момент времени 1300 час, при кратности резервирования m = 1, m = 2 (Общее горячее резервирование, раздельное горячее резервирование, общее холодное резервирование). Сравнить эффективность методов резервирования.
Задание 7 Система имеет кратность раздельного резервирования замещением с целой кратностью m. Основная нерезервированная система содержит четыре равнонадежных элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказов одного элемента λ. Определить характеристики надежности системы за 1000 ч
 Задание 8 Система построена из n однотипных блоков, которые имеют интенсивность отказов λ Определить показатели надежности системы за 1000 час работы, если в скользящем «холодном» резерве находится: 1 такой же блок, 2 таких же блока. Резервные блоки могут заменить в случае отказа любой из отказавших блоков. 
ПРИМЕР РАСЧЕТА Структурная схема надежности приведена на рис 7.1. Значения интенсивности отказов элементов даны в  1/ч. 1. В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что  , получим . 2. Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом В и учитывая, что  , получим . 3. Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их элементом С, для которого при   . 4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом D, для которого при  , получим . 5. Элементы 10 и 11 с параллельным соединением заменяем элементом Е , причем, так как  , то 6. Элементы 12 , 13 , 14 и 15 образуют соединение “2 из 4”, которое заменяем элементом F. Так как  , то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться комбинаторным методом:  7. Преобразованная схема изображена на рис. 7.2. 8. Элементы A, B, C, D и Е образуют (рис. 7.2) мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент С. Тогда  где  - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе С (рис. 7.3, а),  - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе С (рис. 7.3, б). Учитывая, что  , получим 9. После преобразований схема изображена на рис. 7.4.  10. В преобразованной схеме (рис. 7.4) элементы 1, G и F образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы  11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 7.1) подчиняются экспоненциальному закону:  12. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 15 исходной схемы по формуле для наработки до  часов представлены в таблице 1.13. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D, E, F и G по формулам, описанным выше, также представлены в таблице 1. 14. На рис. 7.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t. 15. По графику (рис. 7.5, кривая P) находим для    - процентную наработку системы  ч.16. Проверочный расчет при  ч показывает (таблица 7.1), что  . 17. По условиям задания повышенная - процентная наработка системы  ч.Таблица 1 Расчет вероятности безотказной работы системы
 Рис 7.5. Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р), системы с повышенной надежностью (Р`) и системы со структурным резервированием элементов (Р``). 18. Расчет показывает (таблица 1), что при  ч для элементов преобразованной схемы (рис. 7.4)  ,  и  . Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (система “2 из 4” в исходной схеме (рис. 7.1)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом .19. Для того, чтобы при  ч система в целом имела вероятность безотказной работы  , необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы  При этом значении элемент F останется самым ненадежным в схеме (рис. 7.4) и рассуждения в п.18 останутся верными. Очевидно, значение  , является мини-мальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет большим.20. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 12 - 15 (рис. 7.1) необходимо решить уравнение относительно  при  . Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями , более целесообразно использовать графо-аналитический метод. Для этого по данным табл. 1 строим график зависимости  . График представлен на рис. 7.6. Р PF t, x 106ч Рис. 7.6. Зависимость вероятности безотказной работы системы “2 из 4” от вероятности безотказной работы ее элементов. 21. По графику при находим  .22. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону, то для элементов 12 - 15 при находим ч . 23. Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 12, 13, 14 и 15 и снизить интенсивность их отказов с  до  ч , т.е. в 1.55 раза.24. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 12, 13, 14 и 15 приведены в таблице 7.1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы “2 из 4” F` и системы в целом P`. При ч вероятность безотказной работы системы  , что соответствует условиям задания. График приведен на рис 7.5.25. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям (см. п. 18) также выбираем элемент F, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже  26. Для элемента F - системы “2 из 4” - резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция  дискретна.27. Для повышения надежности системы “2 из 4” добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 12 - 15, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента F не достигнет заданного значения. Для расчета воспользуемся комбинаторным методом - добавляем элемент 16, получаем систему “2 из 5”:   - добавляем элемент 17, получаем систему “2 из 6”:   - добавляем элемент 18, получаем систему “2 из 7”:    28. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме (рис. 7.1) систему “2 из 4” достроить элементами 16, 17 и 18 до системы “2 из 7” (рис. 7.7). 29. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы “2 из 7” F`` и системы в целом P`` представлены в таблице 1. 30. Расчеты показывают, что при ч  , что соот-ветствует условию задания.31. На рис. 7.5 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 12 - 15 (кривая  ) и после структурного резервирования (кривая  ).Выыводы: 1. На рис. 7.5 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая  ). Из графика видно, что 50% - наработка исходной системы составляет  часов.2. Для повышения надежности и увеличения 50% - наработки системы в 1.5 раза (до  часов) предложены два способа:а) повышение надежности элементов 12, 13, 14 и 15 и уменьшение их отказов с до ч ;б) нагруженное резервирование основных элементов 12, 13, 14 и 15 идентичными по надежности резервными элементами 16, 17 и 18 (рис. 7.7). 3. Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) (рис. 7.5) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая ) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая ).1 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||