Теория вероятности. ТВиМС Вариант 8 - 2021-09-30T142603.770. Входные данные
 Скачать 34.91 Kb.
|
|
Входные данные: Считать максимальную дневную температуру в Санкт-Петербурге 1 октября случайной величиной  Из генеральной совокупности – данных Гидрометеослужбы о такой температуре в разные года сделана следующая выборка (в градусах Цельсия):
Задача 1 Для приведенной выборки случайной величины  построить вариационный ряд и выборочный закон распределения . Найти выборочное среднее  выборочную дисперсию  и исправленную выборочную дисперсию  По имеющимся данным построим вариационный ряд (для этого упорядочим варианты случайной величины в порядке их возрастания):4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 18, 18, 18, 18, 20, 20. Сосчитая частоты для каждого значения случайной величины , составим выборочный закон распределения. Запишем его в виде таблицы:
Рассчитаем выборочное среднее по формуле:  где n - объем выборки:  Получаем:  Найдем выборочную дисперсию   Получаем:  Вычисляем исправленную выборочную дисперсию   Получаем:  Полученные результаты говорят о том, что 1 октября в Санкт-Петербурге следует ожидать максимальную дневную температуру, равную примерно  с разбросом порядка  , т.е. примерно в 70% случаев температура должна попадать в интервал 8 – 15  (в выборке в этот интервал попадает 74% значений).Задача 2 Построить с надежностью  доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Интервальной оценкой (с доверительной вероятностью  ) математического ожидания а нормально распределенной величины по среднему  при известном среднеквадратическом отклонении  служит доверительный интервал где  – значение аргумента функции Лапласа  , при котором  n – объем выборки. Среднеквадратическое отклонение определяется как: Находим значение аргумента из соотношения: По таблице для интегральной функции Лапласа  получим  Находим искомый доверительный интервал:   Этот означает, что если нет тренда, то средний за все годы максимум температуры в Санкт-Петербурге 1 октября с вероятностью 90% заключен в интервале 10,6 – 12,3  Задача 3 Построить с надежностью доверительный интервал для дисперсии  случайной величины в предположении, что она имеет нормальное распределение.Интервальной оценкой дисперсии  нормально распределенной величины Х по известной выборочной дисперсии  доверительный интервал где  – критерия распределения Пирсона (определяются из таблицы).При больших значениях n (n  30) для вычисления квантилей используются асимптотические формулы: где  – квантили нормального распределения. Для  и имеем:  Находим доверительный интервал:   Другими словами, среднеквадратическое отклонение величины , характеризующее ее разброс относительно  с вероятностью 90% заключено в пределах от 3 до 4,3 Задача 4 Используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины с уровнем значимости  Проверим гипотезу о том, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.Имеем распределение:
Построим группированную выборку, разбив интервал, в который попали все наши варианты, на 6 подинтервалов:
Теоретические частоты рассчитаем по формуле  где вероятности  найдем по формуле: Тогда  где  Рассчитаем все теоретические частоты:       Результаты вычислений можно проверить, если просуммировать теоретические частоты. Очевидно, что сумма всех  должна примерно равняться числу вариант, то есть 50.
В нашем случае сумма теоретических частот равна 49,5, следовательно, можно утверждать, что вычисления произведены верно. Для нахождения эмпирического значения критерия  составим расчетную таблицу и рассчитаем его по формуле: Построим правостороннюю критическую область, удовлетворяющую равенству  Критическая точка  равна квантили порядка  распределения  Тогда по уровню значимости  и числу степеней свободы  имеем: В силу того, что наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область  можно принять гипотезу о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости  Задача 5 Используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о равномерном законе распределения случайной величины с уровнем значимости Найдем параметры a и b для равномерного закона распределения. Оценим их, применяя метод моментов. Тогда параметры можно выразить через характеристики выборки следующим образом:  Используя найденные в задачах 1 и 2 значения выборочного среднего и среднеквадратического отклонения, получим:   Рассчитаем теоретические частоты где вероятности найдем по формуле: тогда получаем:  Рассчитаем все теоретические частоты:     Найдем наблюдаемое значение критерия . Для этого используем группированную выборку, сделанную выше, и рассчитанные теоретические частоты. В результате получим:
Наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия будет равно: Находим критическую точку правосторонней области аналогично задаче 4. Критическая точка равна квантили порядка распределения Тогда по уровню значимости и числу степеней свободы имеем: В силу того, что наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область  то отвергаем гипотезу о равномерном распределении случайной величины при уровне значимости |
]
]
]
]
]
]
]
