Волновые процессы. Поток энергии. Вектор Умова
![]()
|
Л.12 Волны. Волновые процессы. Поток энергии. Вектор Умова. Уравнение плоской бегущей волны. Фазовая скорость волны. Волновое уравнение. Стоячие волны. 1. Волной называется процесс распространения колебаний в среде. Например, если в какой-либо точке упругой среды возбудить колебания, то вследствие взаимодействия между молекулами, колебания начнут распространяться от одной точки среды к другой. Различают волны продольные и поперечные. Волна будет продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения колебаний. (примером может служить периодическое сжатие и растяжение упругой среды). В поперечной волне частицы колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения колебаний. Волновой поверхностью называют геометрическое место точек. В которых колебания имеют одну фазу. Энергия, переносимая волной за t=1 секунду через некоторую поверхность, называется потоком энергии через эту поверхность ![]() Энергия переносимая за t=1 секунду через S=1м2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии ![]() За время ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() или ![]() ![]() 2. Найдем уравнение плоской волны: пусть гармоническое колебание ![]() ![]() ![]() До точки M колебания дойдут за промежуток времени ![]() (1) ![]() ![]() ![]() (2) ![]() к – волновое число. Уравнение (2) описывает монохроматические волны ![]() ![]() Монохроматичная волна периодична во времени, что означает, что в каждой фиксированной точке пространства (x=const) через одинаковые промежутки времени повторяются одинаковые волновые состояния: ![]() Монохромная волна периодична и в пространстве это означает, что в любой фиксированный момент времени (t=const) в поле волны через одинаковые расстояния повторяются одинаковые волновые состояния: ![]() ![]() Уравнение монохроматической волны может быть записано в комплексной форме (3) ![]() В этом методе гармонические колебания представляют в комплексной форме, а расчеты и выводы производятся на основе алгебры комплексных чисел и теории функций комплексного переменного. В получаемых результатах используются их действительные части. Для волны, распространяющейся в противоположном направлении (4) ![]() (5) ![]() Найдем фазовую скорость волны, т.е. скорость распространения фазы колебанийю Для этого зафиксируем значение фазы (6) ![]() Продифференцируем (6) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для каждого вида волн существует свое уравнение, связывающее частоту и волновое число: ![]() Это уравнение называется дисперсионным уравнением. Построение теории любого вида волн требует на первом этапе построения дисперсионного уравнения для этого вида волн. Фазовая скорость может не зависеть от частоты и может зависеть от нее. Зависимость ![]() ![]() Периодическую волну произвольной формы можно представить в виде некоторой совокупности монохроматических волн с определенным дискретным набором частот и волновых чисел (разложение в ряд Фурье). При отсутствии дисперсии все эти составляющие распространяются с одинаковыми скоростями, следовательно, волна сохраняет в процессе распространения свою форму. Ситуация изменяется в условиях дисперсии. В этом случае монохроматические составляющие с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями и, следовательно, смещаются относительно друг друга. Поэтому их сложение в разные моменты времени дает разные профили исходной не монохроматической волны. Т.е. в условиях дисперсии сложные волны изменяют свою форму в процессе распространения. В этом случае за скорость распространения исходного волнового процесса принимают групповую скорость. Групповой скоростью называется скорость перемещения точки с максимальным значением волновых характеристик. (рисунок) нет его O – центр группы волн. В этой точке максимальна плотность энергии ![]() В точке о совпадают фазы всех монохроматических составляющих волны. Следовательно ![]() ![]() ![]() Если волна распространяется по произвольному направлению, характеризуемому радиус-вектором ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (7) ![]() Т.к. уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, найдем его. Дифференциальное уравнение, описывающее распространение волнового процесса, называется волновым уравнением. Для этого найдем вторые производные (3) по каждой переменной: x, y, z, t. ![]() ![]() ![]() ![]() т.о. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для волны, распространяющейся вдоль x получим: ![]() 3. Стоячие волны. Рассмотрим результат наложения двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x. Пусть ![]() Результирующая волна м. б. найдена сложением волн ![]() ![]() ![]() (8) ![]() Из уравнения (8) видно, что амплитуда колебаний в каждой точке x будет различной ![]() а) найдем положение узлов – точек, амплитуда колебаний в которых равна нулю ![]() ![]() ![]() n=0, 1, 2, … Следовательно ![]() б) найдем положение кучностей – точек, амплитуда колебаний в которых будет максимальной: ![]() ![]() ![]() n=0, 1, 2, …; отсюда ![]() ![]() Расстояние между двумя узлами (или кучностями): ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |