Теория интегралы. Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине Интегралы и дифференциальные уравнения
 Скачать 3.63 Mb.
|
|
Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Интегралы и дифференциальные уравнения» Модуль 1. Интегралы 1 Сформулируйте определение определенного интеграла; его геометрический смысл. 2 Сформулируйте и докажите теорему об оценке определенного интеграла. 3 Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла. 4 Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании неравенств между функциями. 5 Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении для определенного интеграла. 6 Сформулируйте и докажите теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом. 7 Выведите формулу Ньютона-Лейбница для определенного интеграла. 8 Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода для неотрицательных функций. 9 Сформулируйте и докажите предельный признак сходимости несобственных интегралов 1-го рода для неотрицательных функций. 10 Сформулируйте и докажите предельный признак сходимости несобственных интегралов 2-го рода для неотрицательных функций. 11 Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода для неотрицательных функций. 13 Выведите формулу для вычисления объема по известным площадям поперечных сечений и формулу для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX . 15 Дайте определение длины дуги плоской кривой. Напишите формулы длины дуги кривой, заданной в декартовой и полярной системах координат. 16 Напишите формулу площади поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси OX . Модуль 2. Дифференциальные уравнения 1 Сформулируйте и докажите теоремы о свойствах частных решений линейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений. 2 Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно зависимой системы функций. (дополнить доказательство тем, что лин. зав. ф-ции непрерывны и (n-1) раз дифференцируемы на рассматриваемом промежутке) 3 Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно независимой системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. 4 Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n го порядка. 5 Дайте определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о существовании фундаментальной системы решений для указанного уравнения. 6 Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n го порядка. 7 Выведите формулу Остроградского - Лиувилля для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. 8 Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (принцип суперпозиции). 9 Дайте обоснование метода вариации произвольных постоянных (метода вариации Лагранжа) для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. 10 Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения. (Рассмотреть для двух функций. В вронскиане останется 4 элемента) 11 Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. 12 Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения. |