билеты к госам алгебра. алг.струк. Вопросы к экзамену 4ый семестр
 Скачать 0.84 Mb.
|
Вопросы к экзамену – 7. 4-ый семестр 1. Бинарная алгебраическая операция. Группа, основные свойства. Аддитивная и мультипликативная группы. Абелева группа. Бинарной операцией на непустом множестве 𝐺 называется отображение множества всех упорядоченных пар вида (𝑥, 𝑦), где 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, в множество 𝐺. Группой называется система ⟨𝐺, ∗⟩ с основным множеством 𝐺 и бинарной операцией ∗, определенной на множестве 𝐺, если выполняются следующие условия. 1) Операция ∗ ассоциативна, то есть для любых 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐). 2) Существует элемент 𝑒 ∈ 𝐺, называемый нейтральным, такой, что 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 для любого 𝑎 ∈ 𝐺. 3) Для всякого элемента 𝑎 ∈ 𝐺 существует элемент 𝑎 ′ ∈ 𝐺, называемый симметричным элементу 𝑎, такой, что 𝑎 ∗ 𝑎 ′ = 𝑎 ′ ∗ 𝑎 = 𝑒. Свойства групп: 1. Единица группы единственна 2. Для каждого элемента группы обратный элемент единственен 3. Для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 уравнения 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 и 𝑦 ⋅ 𝑎 = 𝑏 однозначно разрешимы. Если групповая операция ∗ коммутативна (то есть для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎), то группа называется коммутативной или абелевой. Группа по сложению называется аддитивной, а по умножению мультипликативной. 2. Подгруппа. Решетка группы. Пусть дана группа ⟨𝐺, ⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐺 называется подгруппой группы 𝐺, если ⟨𝐻, ⋅⟩ является группой. Обозначается: 𝐻 ≤ 𝐺. Если 𝐻 ≠ 𝐺, то подгруппа 𝐻 называется собственной. При этом пишут: 𝐻 <𝐺. Решетка подгрупп группы — это решетка, элементы которой являются подгруппами группы , а отношение частичного порядка принадлежит под множеству. В этой решетке объединение двух подгрупп — это подмножество , порожденное их соединением, а точка их встречи — пересечение. 3. Порядок элемента группы. Порядок группы. Циклическая группа, подгруппа циклической группы. Порядок элемента наименьшее положительное целое m, такое что m-кратное групповое умножение данного элемента g принадлежит G, на себя. Порядок группы количество элементов группы Циклическая группа — группа (G, •), которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа. 4. Таблица Кэли. Порождающие элементы и определяющие соотношения. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов. Если среди элементов группы G можно выделить подмножество S элементов данной группы, такое, что все остальные элементы группы G можно выразить в виде произведений элементов множества S и их степеней, то элементы множества S называются образующими (или порождающими) элементами группы G. 5. Смежные классы: определение, примеры, основные свойства, разбиение группы на смежные классы. Определение. Пусть 𝐺 – группа, 𝐻 – ее подгруппа, 𝑔 ∈ 𝐺. Умножим каждый элемент ℎ ∈ 𝐻 слева на 𝑔. Получим множество 𝑔𝐻 = {𝑔ℎ | ℎ ∈ 𝐻}, которое называется левым смежным классом по подгруппе 𝑯. Аналогично определяется правый смежный класс: 𝐻𝑔 = {ℎ𝑔 | ℎ ∈ 𝐻}. ПРИМЕРЫ. Рассмотрим симметрическую группу подстановок трех символов 𝑆 3 = {𝑒, (12). (13), (23), (123), (132)} и в ней подгруппу четных подстановок 𝐴 3 = {𝑒, (123), (132)}. Умножим каждую четную подстановку слева на одну и ту же нечетную подстановку (12). Получим класс подстановок (12) ⋅ 𝐴 3 = {(12) ⋅ 𝑒, (12) ⋅ (123), (12) ⋅ (132)} = {(12), (13), (23)}. Видим, что этот класс содержит все нечетные подстановки, так что 𝑆 3 = 𝐴 3 ∪ (12) ⋅ 𝐴 3 ). Такое представление группы всех подстановок 𝑆 3 называется разложением группы на левые смежные классы по подгруппе𝑨 𝟑 . Аналогично можно получить разложение группы 𝑺 𝟑 на правые смежные классы по подгруппе𝑨 𝟑 : 𝑆 3 = 𝐴 3 ∪ 𝐴 3 ⋅ (12). Понятно, что это те же самые два подмножества подстановок. 2. Теперь возьмем подгруппу 𝐻 = {𝑒, (12)} и подобным образом найдем левые смежные классы по подгруппе 𝐻. Перебираем подстановки 𝑔, не входящие в 𝐻, и образуем левые смежные классы 𝑔𝐻, умножая каждую подстановку из 𝐻 слева на выбранную подстановку 𝑔: (13) ⋅ 𝐻 = {(13) ⋅ 𝑒, (13) ⋅ (12)} = {(13), (132)}, (23) ⋅ 𝐻 = {(23) ⋅ 𝑒, (23) ⋅ (12)} = {(23), (123)}, (123) ⋅ 𝐻 = {(123) ⋅ 𝑒, (123) ⋅ (12)} = {(123), (23)} = (23) ⋅ 𝐻, (132) ⋅ 𝐻 = {(132) ⋅ 𝑒, (132) ⋅ (12)} = {(132), (13)} = (13) ⋅ 𝐻. В итоге получаем разложение группы 𝑆 3 на левые смежные классы по подгруппе 𝐻: 𝑆 3 = 𝐻 ∪ (13) ⋅ 𝐻 ∪ (23) ⋅ 𝐻 = 𝐻 ∪ (123) ⋅ 𝐻 ∪ (132) ⋅ 𝐻. Аналогично можно получить разложение группы 𝑆 3 на правые смежные классы по подгруппе 𝐻: 𝑆 3 = 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (13) ∪ 𝐻 ⋅ (23) = = 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (123) ∪ 𝐻 ⋅ (132). Замечаем, что хотя сами левые и правые смежные классы различны, количество левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно количеству правых смежных классов по этой подгруппе. Доказываемые ниже свойства смежных классов можно наблюдать на приведенных выше примерах. (Условия совпадения смежных классов). Пусть H – подгруппа группы G и a, b ∈ H. Тогда aH = bH ⇔ a −1 b ∈ H, Ha = Hb ⇔ ba −1 ∈ H. Любые два левых (правых) смежных класса по одной к той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают. Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той подгруппе содержат одинаковое количество элементов. Определение. Представление группы G в виде объединения различных левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется разложением группы на левые (правые) смежные классы по данной подгруппе: G = g 1 H ∪ g 2 H ∪. .., G = Hg 1 ∪ Hg 2 ∪. .. Заметим, что среди всех смежных классов только один является подгруппой – это подгруппа H. ПРИМЕРЫ разложений на смежные классы. 1. Разложим аддитивную группу целых чисел Z на смежные классы по подгруппе 3Z: Z = 3Z ∪ 1 + 3Z ∪ 2 + 3Z. Замечаем, что смежные классы есть не что иное как классы вычетов по модулю 3: 3Z = {3n | n ∈ Z} = 0, 1 + 3Z = {1 + 3n | n ∈ Z} = 1, 2 + 3Z = {2 + 3n | n ∈ Z} = 2. 2. Разложение аддитивной группы рациональных чисел Q по подгруппе целых чисел Z: Q = Z ∪ ( 1 2 + Z) ∪ ( 1 3 + Z) ∪ ( 2 3 + Z) ∪ ( 1 4 + Z) ∪ ( 3 4 + Z) ∪. .. 6. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Примеры применения. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. Порядок конечной группы равен произведению порядка подгруппы на число левых (правых) смежных классов по этой подгруппе. Из теоремы Лагранжа вытекает, что число левых смежных классов конечной группы 𝐺 по подгруппе 𝐻 равно числу правых смежных классов по этой подгруппе. Докажем, что это верно в любой группе. Следствие 1. В любой группе 𝐺 число левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно числу правых смежных классов по этой подгруппе. Доказательство. Сопоставляя всякому левому смежному классу 𝑔𝐻 правый смежный класс 𝐻𝑔 −1 , мы получаем взаимно однозначное отображение множества всех левых смежных классов по подгруппе 𝐻 на множество всех правых смежных классов по этой подгруппе, что и доказывает теорему. Доказанное свойство приводит к определению следующего общего понятия. Определение. Индексом в группе 𝑮 подгруппы 𝑯 называется количество (мощность множества) левых или правых смежных классов по этой подгруппе. Обозначается |𝐺: 𝐻|. С помощью введенного понятия теорему Лагранжа можно записать так: |𝐺| = |𝐻| ⋅ |𝐺: 𝐻|. Читается: порядок конечной группы 𝐺 равен произведению порядка подгруппы 𝐻 на ее индекс. Следствие 2. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы. Заметим, что если |𝐺| ⋮ 𝑚, то отсюда совсем не следует, что группа 𝐺 содержит подгруппу порядка m. Например, группа четных подстановок четырех символов 𝐴 4 имеет порядок 12, но, как мы покажем ниже, она не содержит подгрупп порядка 6. Следствие 3. Порядок элемента конечной группы является делителем порядка группы. Следствие 4. Группа простого порядка циклическая. Следствие 5. Если |𝐺| = 𝑛, то 𝑎 𝑛 = 𝑒 для любого 𝑎 ∈ 𝐺. Пример. Пусть G— группа и |G| 6 5 Если |G| = 1, 2, 3 или 5, то, по след- ствию 4 к теореме Лагранжа для p = 2, 3 или 5, G—циклическая группа. Если |G| = 4 и вG есть элемент a порядка 4, тоG = 〈a〉— циклическая группа, G ∼= Z4. В противном случае G = {e, a, b, c}, a2 = b2 = c2 = e. Если ab = e, то ab = e = a2, и поэтому b = a, что противоречит тому, что a 6= b; аналогично, ab 6= a, ab 6= b. Итак, ab = c. Так же проверяем, что ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb. Таким образом, G— группа Клейна. 7. Нормальная подгруппа: определение, примеры. Сопряженные элементы. Признак нормальной подгруппы. Определение. Подгруппа H группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы. ПРИМЕРЫ. 1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна. 2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны. 3. Центр группы 𝐶(𝐺) является нормальной подгруппой в группе 𝐺. 4. В группе 𝑆 3 возьмем подгруппу 𝐻 1 всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда 𝐻 1 не является нормальной подгруппой, так как (12) ⋅ 𝐻 1 ≠ 𝐻 1 ⋅ (12). 5. Докажем, что 𝐴 𝑛 ⊲ 𝑆 𝑛 для любого 𝑛. Пусть 𝑔 ∈ 𝑆 𝑛 . Если 𝑔 – четная подстановка, тo 𝑔𝐴 𝑛 = 𝐴 𝑛 = 𝐴 𝑛 𝑔. Пусть 𝑔 – нечетная подстановка. Тогда смежный класс 𝑔𝐴 𝑛 состоит из нечетных подстановок, и всякая нечетная подстановка содержится в 𝑔𝐴 𝑛 (докажите). Следовательно, разложение группы 𝑆 𝑛 на левые смежные классы по подгруппе 𝐴 𝑛 имеет вид 𝑆 𝑛 = 𝐴 𝑛 ∪ 𝑔𝐴 𝑛 . Аналогично получаем разложение группы 𝑆 𝑛 на правые смежные классы: 𝑆 𝑛 = 𝐴 𝑛 ∪ 𝐴 𝑛 𝑔. Отсюда делаем вывод, что 𝑔𝐴 𝑛 = 𝐴 𝑛 𝑔. Следовательно, 𝐴 𝑛 ⊲ 𝑆 𝑛 Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |𝑆 𝑛 : 𝐴 𝑛 | = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа 𝐻 индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого 𝑔 ∈ 𝐺 имеем 𝐺 = 𝐻 ∪ 𝑔𝐻 = 𝐻 ∪ 𝐻𝑔. Отсюда 𝑔𝐻 = 𝐻𝑔. Следовательно, 𝐻 ⊲ 𝐺. Определение. В группе 𝐺 элемент 𝑎 ∈ 𝐺 называется сопряженным с элементом 𝑏 ∈ 𝐺, если существует элемент 𝑔 ∈ 𝐺 такой, что 𝑎 = 𝑔 −1 𝑏𝑔. Теорема. (Критерий нормальной подгруппы). Подгруппа 𝐻 группы 𝐺 является нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом содержит и всякий сопряженный с ним элемент: 𝐻 ⊲ 𝐺 ⇔ ∀ℎ ∈ 𝐻 ∀𝑔 ∈ 𝐺 𝑔 −1 ℎ𝑔 ∈ 𝐻. 8. Фактор-группа. Фактор-группа циклической группы. Определение. Если H – нормальная подгруппа группы G, то группа смежных классов G/H называется фактор-группой группы 𝐆 по подгруппе 𝐇. Теорема 2. Фактор-группа циклической группы циклическая. 9. Изоморфизм групп. Изоморфизм бесконечных и конечных циклических групп. Определение: Группы ⟨𝐺 1 ,⋅⟩ и ⟨𝐺 2 ,∗⟩ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение 𝜙 множества 𝐺 1 на 𝐺 2 такое, что ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺𝜙(𝑥 ⋅ 𝑦) = 𝜙(𝑥) ∗ 𝜙(𝑦). В этом случае говорят, что отображение 𝜙 сохраняет операцию. Само отображение называют изоморфизмом. Основные свойства: 1! 𝜙(𝑒 1 ) = 𝑒 2 , где 𝑒 1 - единица группы 𝐺 1 , 𝑒 2 - единица группы 𝐺 2 2! ∀𝑥 ∈ 𝐺 𝜙(𝑥 −1 ) = (𝜙(𝑥)) −1 3! Образ подгруппы при изоморфизме есть подгруппа. 4! Образ нормальной подгруппы – нормальная подгруппа. Теорема: Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ⟨Z, +⟩ = ⟨1⟩. Теорема: Всякая циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n ⟨Z n , +⟩ = ⟨1⟩. Следствие: Две конечные циклические изоморфны тогда и только тогда, когда порядки их совпадают. 10. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. (без доказательства) Определение 1: Гомоморфизмом группы ⟨G 1 ,⋅⟩ на группу ⟨G 2 ,∗⟩ называется отображение ϕ множества G 1 на множество G 2 , которое сохраняет операцию, т.е. ∀x, y ∈ G ϕ(x ⋅ y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y). Из определения следует, что изоморфизм это взаимно однозначный гомоморфизм. Определение 2: Пусть ϕ - гомоморфизм группы ⟨G 1 ,⋅⟩ на группу ⟨G 2 ,∗⟩ и e 2 - единица группы G 2 . Ядром гомоморфизма ϕ называется множество всех прообразов e 2 в группе G 1 Обозначается ker ϕ. Кратко ker ϕ = {x ∈ G|ϕ(x) = e 2 , e 2 − единица группы G 2 }. Теорема 1: Ядро гомоморфизма – нормальная подгруппа. Доказательство: (в видео лекции) Теорема 2: Всякая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. (Без доказательства). Теорема 3: (о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы, изоморфен фактор- группе по ядру гомоморфизма. 11. Кольцо. Подкольцо. Определение: Кольцом называется множество с двумя операциями – сложение и умножение, удовлетворяющими следующим свойствам: 1) относительно сложения данное множество образует коммутативную группу (множество замкнуто относительно сложения и выполняются свойства: коммутативность, ассоциативность, наличие нулевого элемента и для каждого элемента множества в этом множестве есть обратный для этого элемента); 2) относительно умножения - полугруппу (выполняется замкнутость относительно умножения и из свойств только ассоциативность); 3) выполняются две дистрибутивности. Определение: Подкольцом данного кольца К называется его подмножество, которое само относительно тех же операций является кольцом. Другими словами, это подгруппа аддитивной группы кольца, замкнутая относительно умножения. Теорема 1: (признак подкольца) Пусть дано кольцо ⟨𝐾, +,⋅⟩ и 𝐻 ⊆ 𝐾. Тогда 𝐻 - подкольцо кольца 𝐾 ⇔ 1)𝐻замкнуто относительно сложения и умножения и 2) для любого элемента 𝑎 ∈ 𝐻 противоположный ему элемент −𝑎так же принадлежит 𝐻. Теорема 2: Пересечение двух подколец есть подкольцо. 12. Идеал кольца, фактор-кольцо по идеалу. Определение 1: Пусть дано кольцо ⟨𝐾, +,⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐾называется идеалом кольца 𝐾, если оно является подкольцом, которое замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца, т.е. (∀𝑎 ∈ 𝐻) и (∀𝑘 ∈ 𝐾) 𝑘 ⋅ 𝑎 ∈ 𝐻, 𝑎 ⋅ 𝑘 ∈ 𝐻. (аналог нормальной подгруппы). Пусть ⟨𝐾, +,⋅⟩ - кольцо и 𝐻 - идеал в 𝐾, тогда 𝐻 является подгруппой аддитивной группы кольца ⟨𝐾, +⟩. Поэтому можно рассмотреть фактор-группу 𝐾/𝐻. Операции в ней задаются формулами: (𝑎 + 𝐻) + (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 + 𝑏) + 𝐻 (𝑎 + 𝐻) ⋅ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + 𝐻 Операция умножения для нас нова, рассмотрим принцип ее действия на примере доказательства независимости умножения от выбора представителей: 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 + 𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟹ (𝑎 + 𝐻) ∙ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎1 + 𝐻) ∙ (𝑏1 + 𝐻), т.е. 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻 Доказательство: Имеем 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 + 𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟺ (𝑎 − 𝑎1 ) ∈ 𝐻 (𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻 | ⟺ (𝑎 − 𝑎1 )(𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 + 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + (𝑎1𝑏1 − 𝑎1𝑏) + (𝑎1𝑏1 − 𝑎𝑏1 ) = (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + 𝑎1(𝑏1 − 𝑏) + 𝑏1 (𝑎1 − 𝑎) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻 13. Изоморфизм колец. Изоморфизм колец — это взаимно однозначный гомоморфизм. Так же, как и в случае групп, изоморфные кольца «одинаковы» с алгебраической точки зрения. 14. Гомоморфизм колец, ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме колец (без доказательства). Определение 2. Пусть (R, +, ×) и (R0 , ⊕, ⊗) — кольца. Отображение f : R → R0 называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, то есть если f(a + b) = f(a) ⊕ f(b), f(a × b) = f(a) ⊗ f(b). При этом, конечно, f(0) = 00 , f(na) = nf(a) при n ∈ Z. Ядро любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом. Доказательство. Пусть <р: R —> R-2 — гомоморфизм колец, I = Кег<^ = {х | у>(х) = 0} — ядро этого гомоморфизма. Поскольку гомоморфизм колец является и гомоморфизмом их аддитивных групп, то I — подгруппа по сложению. Осталось проверить, что для любого г Е R и а Е I выполнено га € I, ar € I. Из свойств гомоморфизма следует, что <р(га) = = <р(г)<р(а) = <р(г) • 0 = 0. Аналогично ц>(аг) = 0. Теорема. Пусть f : R! S гомоморфизм колец. Тогда Im f = R= ker f: 15. Область целостности. Обратимые элементы. Делимость в области целостности. Простые элементы области целостности. Ассоциированные элементы: определение, примеры. Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности. НОД в области целостности. Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с 1 (т.е. к свойствам кольца добавляется свойство коммутативности умножения и наличие 1), в котором нет делителей нуля (т.е. ненулевых элементов, произведение которых равно нулю) Теорема: Множество обратимых элементов области целостности образует коммутативную группу по умножению, которая называется мультипликативной группой области целостности. Примеры обратимых элементов: 1) Во множестве целых чисел Z обратимыми будут только 1 и -1 2) Во множестве рациональных чисел Q обратимыми будут все кроме 0 3) Во множестве Z+Zi (комплексных чисел с целыми коэффициентами) обратимыми будут только числа 1, -1, i, -i 4) Во множестве всех комплексных чисел С обратимыми будут все числа, кроме 0. Определение: К – область целостности, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾, 𝑏 ≠ 0. Будем говорить, что 𝑎 ⋮ 𝑏 (кратно), если существует 𝑐 ∈ 𝐾 такой, что 𝑎 = 𝑏𝑐, при этом b называют делителем элемента a, а элемент а кратным b. Свойства делимости: 1! 𝑎 ⋮ 𝑏, 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ 𝑎 ⋮ 𝑐 2! ∀𝑎 ∈ 𝐾 𝑎 ⋮ 1 3! ∀𝑎 ∈ 𝐾, 𝑎 ≠ 0 0 ⋮ 𝑎 4! 𝑎 ⋮ 𝑎, 𝑎 ≠ 0 5! 𝑎 ⋮ 𝑐 и 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ (𝑎 ± 𝑏) ⋮ 𝑐 и (𝛼𝑎 ± 𝛽𝑏) ⋮ 𝑐, ∀𝛼, 𝛽 ∈ Теорема 1: (Основная теорема арифметики) Всякое натуральное число ≥ 1 либо является простым, либо представимо в виде произведения простых чисел, причем однозначно с точностью до порядка следования сомножителей. Определение: Пусть дана область целостности 𝐾. Элемент 𝑝 ∈ 𝐾назовем простым, если он не нулевой, необратимый и не представим в идее произведения необратимых элементов. Если элемент представим в виде произведения необратимых элементов, то этот элемент назовем составным. Определение: 〈𝐾, +, ∙ 〉 - область целостности. Ненулевые элементы 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 ассоциированные, если существует обратимый элемент 𝜀 такой, что 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝜀. Примеры: 1) Во множестве Z элементы 3 и -3 - ассоциированы, так как (-3)=3(-1), где (-1) – обратимый элемент. 8 и -8 ассоциированы. И т.д. 2) В кольце R[x] многочленов от переменной х с действительными коэффициентами два многочлена будут ассоциированы тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга на постоянный множитель. Например, f(x) и 7f(x) ассоциированы. 3) В поле р любые два ненулевых элемента поля ассоциированы Теорема 1: Отношение ассоциированности в области целостности является отношением эквивалентности. Поэтому для обозначения ассоциированности элементов мы можем позаимствовать значок эквивалентности: 𝑎𝑏. Теорема 2: 𝑎𝑏 ⟺ 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑏 ⋮ 𝑎 Основные свойства простых элементов. 1! Если 𝑝и 𝑞 - простые элементы и 𝑝 ⋮ 𝑞, то 𝑝 𝑞. Доказательство: 𝑝 ⋮ 𝑞, следовательно, существует 𝑡 ∈ 𝐾такой, что 𝑝 = 𝑞𝑡. По условию 𝑞 - простое, а значит 𝑞 - ненулевой и необратимый элемент и мы получим, 𝑝 представим в виде произведения двух необратимых элементов, что противоречит простоте элемента 𝑝. Полученное противоречие дает, что 𝑡 - обратим, а значит 𝑝 𝑞. 2! Для любого элемента 𝑎 ∈ 𝐾 и любого простого элемента 𝑝 ∈ 𝐾, либо 𝑎 ⋮ 𝑝, либо НОД(𝑎. 𝑝)=1. Доказательство: 1) Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего. 2) Предположим, что 𝑎 ⋮ ̄ 𝑝. Пусть НОД(𝑎. 𝑝)=𝑑 (заметим, что НОД в области целостности определяется однозначно с точностью до ассоциированности, т.е. если 𝑑 =НОД(𝑎. 𝑝), то 𝑑𝜀 - тоже НОД(𝑎. 𝑝), где 𝜀 - обратимый элемент. 𝑝 ⋮ 𝑑, значит 𝑝 = 𝑑𝑞, 𝑞 ∈ 𝐾. Если предположить, что 𝑞 - обратимый элемент, то существует 𝑞 −1и, тогда 𝑑 = 𝑝𝑞 −1 . Но в этом случае 𝑎 ⋮ 𝑑 ⋮ 𝑝, что противоречит нашему предположению. Предположим, что 𝑞 - необратимый элемент, а т.к. 𝑝 - простое и 𝑝 = 𝑑𝑞, то 𝑑 - обратим. Тогда 𝑑 𝑒 по теореме 3 предыдущего пункта, а значит НОД(𝑎. 𝑝)=𝑒. 3! Если 𝑎𝑏 ⋮ 𝑝, где 𝑝 - простой элемент, то 𝑎 ⋮ 𝑝 или 𝑏 ⋮ 𝑝. Доказательство: (аналогично доказательству для целых чисел) (Здесь мы используем евклидовость кольца 𝐾. Так как в евклидовом кольце имеет место деление с остатком, то мы можем доказать, то мы можем в этом кольце рассмотреть алгоритм Евклида. Так же можно доказать, что последний, отличный от нуля, остаток является НОД элементов, к которым этот алгоритм применим. А используя алгоритм Евклида, мы можем найти линейную форму). Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего. Если 𝑎 ⋮ ̄ 𝑝, то по свойству 2! НОД (𝑎. 𝑝) =1. следовательно, существуют числа 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾такие, что 𝑎𝑢 + 𝑝𝑣 = 𝑒. Умножим обе части этого равенства на 𝑏, получим 𝑎𝑏𝑢 + 𝑝𝑏𝑣 = 𝑏, а из последнего следует, что 𝑏 ⋮ 𝑝. 16. Евклидово кольцо: определение, примеры. Основные свойства простых элементов евклидова кольца. Разложение на простые множители в евклидовом кольце (теорема о факторизации). Определение. Евклидовым кольцом называется область целостности 〈𝐾, +,∙ 〉, для элементов которой определено отображение ℎ:𝐾 ⟶ 𝑁0, где 𝑁0 = 𝑁 ∪ {0}, которое обладает следующими свойствами: 1) ℎ(𝑎𝑏) ≥ ℎ(𝑎) при 𝑏 ≠ 0 или 𝑎 = 𝑏 = 0; 2) (деление с остатком) ∀ 𝑎, 𝑏 ≠ 0 из 𝐾 ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐾 | 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 при 𝑟 = 0 либо ℎ(𝑟) < ℎ(𝑏). При этом ℎ(𝑎) называется нормой элемента a. Основные свойства простых элементов евклидова кольца. 1. Если p и q – простые элементы и 𝑝 ⋮ 𝑞, то 𝑝𝑞. Доказательство. Из условия 𝑝 ⋮ 𝑞 следует, что существует элемент 𝑡 ∈ 𝐾 такой, что 𝑝 = 𝑞𝑡. По условию 𝑞 – простой элемент, значит 𝑞 – ненулевой и необратимый. Очевидно, 𝑡 ≠ 0. Если предположить, что t – необратимый элемент, то мы получим, что р представим в виде произведения двух необратимых элементов, что противоречит простоте элемента р. Полученное противоречие говорит об обратимости элемента t, а значит 𝑝𝑞. 2. Для любого 𝑎 ∈ 𝐾 и любого простого р из 𝐾 либо 𝑎 ⋮ 𝑝, либо (𝑎, 𝑝) = 1. 3. Если ( 𝑎 ∙ 𝑏) ⋮ 𝑝, где 𝑝 – простой элемент, то 𝑎 ⋮ 𝑝 или 𝑏 ⋮ 𝑝. Доказательство. (аналогично доказательству для целых чисел) Здесь мы используем евклидовость кольца 𝐾: так как в евклидовом кольце имеет место деление с остатком, то мы можем в этом кольце рассмотреть алгоритм Евклида. Так же можно доказать, что последний, от нуля остаток является НОД элементов, к которым этот алгоритм применен. Используя алгоритм Евклида мы можем найти линейную форму этого НОД. Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего. Если 𝑎 не кратно 𝑝, то по свойству 20 ( 𝑎, 𝑏) = 𝑒, следовательно ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾| 𝑎𝑢 + 𝑝𝑣 = 𝑒. Домножим обе части последнего равенства на b, получим 𝑎𝑏𝑢 + 𝑝𝑏𝑣 = 𝑏, где каждое слагаемое кратно 𝑝, а значит и 𝑏 ⋮ 𝑝. Теорема. (о факторизации) В евклидовом кольце всякий ненулевой необратимый элемент либо является простым, либо представим в виде произведения простых, причем однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и с точностью до их ассоциированности. Другими словами, для любых разложений на простые множители существует взаимно однозначное соответствие между множителями, при котором соответствующие простые множители ассоциированы. (Например, 6 = 2 ⋅ 3 = (−3) ⋅ (−2) ⇒ 3(−3); 2(−2)) 17. Главный идеал: определение, примеры. Кольцо главных идеалов. Определение: Идеал, порожденный одним элементом, называется главным идеалом. Пример: В Z любое фиксированное целое число а порождает главный идеал ⟨𝑎⟩ = { 𝑘𝑎|𝑘 ∈ 𝑍} = 𝑎𝑍. Определение: Кольцо называется кольцом главных идеалов, если в нем всякий идеал главный. Теорема: Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Доказательство. Пусть K – евклидово кольцо и H – идеал в K. Если 𝐻 = {0}, то 𝐻 = ⟨0⟩ - главный идеал (состоит только из нулей). Пусть 𝐻 ≠ {0} и а – ненулевой элемент с наименьшей нормой h(a)=n. Докажем, что 𝐻 = ⟨𝑎⟩. 1) По определению ⟨𝑎⟩ = {𝑘𝑎|𝑘 ∈ 𝐾} ⊆ 𝐻. 2) Пусть 𝑏 ∈ 𝐻. Разделим b на а с остатком: b=aq+r . Предположим, что 𝑟 ≠ 0, тогда ℎ(𝑟) < ℎ(𝑎) 𝑟 = 𝑏 − 𝑎𝑞 ⇒ 𝑟 ∈ 𝐻 | ⇒ 𝑟 − элемент из H с нормой h(r), меньшей, чем h(a), что противоречит выбору элемента a. Значит r=0 и 𝑏 = 𝑎𝑞 ∈ ⟨𝑎⟩ ⇒ 𝐻 ⊆ ⟨𝑎⟩. Из подчеркнутого следует, что ⟨𝑎⟩ = 𝐻. 18. Поле. Расширения колец и полей. Поле отношений области целостности. Определение: Полем называется система 〈Р, +, ∙〉, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) 〈Р, +〉 - коммутативная группа; 2) Если Р ∗ = Р\{0}, то 〈Р ∗ , ∙〉 -коммутативная группа; 3) Умножение дистрибутивно относительно сложения. Другими словами: полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от 0, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный. Основные свойства полей: 1! В поле нет делителей нуля, т.е. если 𝑎 ≠ 0 и 𝑏 ≠ 0, то 𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0, а если 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, то 𝑎 = 0 или 𝑏 = 0. 2! Для любых 𝑎, 𝑏 ≠ 0 деление положим как 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 −1 . При этом 𝑎 𝑏 называют отношением. Основное свойство отношений: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑐 Определение: Кольцо К1 называется расширением кольца К, если К – подкольцо кольца К1 и при этом в К1 есть элементы, не принадлежащие К. (т.е. К1 должно быть больше К) 19. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Пусть поле F является расширением поля P. Определение 1. Элемент 𝛼 ∈ 𝐹 называется алгебраическим над полем F, если 𝛼является корнем некоторого многочлена 𝑓(𝑥) ∈ 𝑃[𝑥]. Элемент 𝛼 ∈ 𝐹называется трансцендентным над полем F, если𝛼не является корнем никакого многочлена с коэффициентами из P. Определение 1. Пусть 𝛼 - алгебраический элемент над P. Минимальным многочленом алгебраического элемента 𝛼 называется приведенный многочлен из P[x], наименьшей степени, имеющий корень 𝛼. Теорема: (о свойствах минимального многочлена) Пусть 𝛼 - алгебраический элемент над полем P, и 𝜙(𝑥) - его минимальный многочлен, тогда 1) для любого алгебраического числа 𝛼 минимальный многочлен существует, притом единственный; 2) минимальный многочлен 𝜙(𝑥) - неприводимый над P; 3) для любого многочлен f(x) из P[x] 𝑓(𝛼) ≠ 0 ⇔ (𝑓(𝑥),𝜙(𝑥)) = 1. Задача: Дано отношение , где f(x) и g(x) є P[x], а Q –алгебр-е число над полем Р. Исключить иррациональность в знаменателе данного отношения означает: Найти h(x) є P[x], что f(Q)/g(Q)=h(Q)- значение многочлена. Решение: Пусть р(х)-лин-1 для Q многочлена. Рассмотрим g(x) и р(х), р(х) – неприводимый. Либо g(x) р(х), либо (g(x),p(x))=1. 1)g(x) p(x)→ q(x): g(x)=p(x)∙q(x). x=Q g(Q)=p(Q)∙q(Q)=0 (чего быть не может : 0)→ 2)(g(x),p(x))=1лин-епредставлениедля Н.О.Д.: U(x), V(x) є P[x]:{g(x)∙u(x)+p(x)∙v(x)=1} x=Q g(Q)∙u(Q)+p(Q)∙v(Q)=1; u(Q)= 1/g(Q) умножим обе части на f(Q); → f(Q)∙u(Q)=f(Q)/g(Q). Понизим степень (поделим с остатком): m(x)=f(x)∙u(x)=p(x)∙s(x)+r(x); dim r(x) 20. Алгебраические расширения. Алгебраичность конечного расширения поля. Простые расширения. Простые алгебраические расширения. Определение. Пусть A – ассоциативная k-алгебра Элемент z ∈ A называется алгебраическим или целым над k, если существует такой ненулевой многочлен f ∈ k[X], deg f> 1, что f(z) = 0 Определение. Поле K’ называется конечным расширением поля K, или просто, конечным над K, если все элементы поля K’ являются линейными комбинациями конечного множества элементов 𝑎1, 𝑎2 … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐾′с коэффициентами 𝜆𝑖 из K: 𝒖 = 𝝀𝟏𝒂𝟏 + 𝝀𝟐𝒂𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒏𝒂 Расширение называется простым, если оно получено присоединением только одного элемента. |