окружность четырехугольник. окр и четырехуг-к. Вписанная и описанная окружности четырехугольника
 Скачать 280.52 Kb.
|
|
Вписанная и описанная окружности четырехугольника Решение задач Окружность называют описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины Теорема 10.1. Если четырехугольник является вписанным в четырехугольник, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Теорема 10.2. Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. В А С D Около равнобедренной трапеции можно описать окружность Около ромба нельзя описать окружность Центр описанной около четырехугольника окружности-точка пересечения серединных перпендикуляров Окружность называют вписанной в четырехугольник, если она касается всех его сторон Теорема 10.3. Если четырехугольник является описанным около четырехугольника, то суммы его противолежащих сторон равны. Теорема 10.4. Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. А В С D В прямоугольник нельзя вписать окружность Если в прямоугольник вписана окружность, то он является квадратом. В ромб можно вписать окружность 1) Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. ˪ =82, ˪ =58° Найти: ˪С, ˪D A B Решение: ˪А+ ˪ С = ˪ D+ ˪ B =180° по теореме 10.1 Это не противолежащие углы, т.к. в описанном четырехугольнике их сумма равнялась бы 180 градусов. ˪С= 180-82=98° ˪D= 180-58=122° Ответ: 122° Дано: окружность описана около трапеции ABCD, ˪А=42° Найти: ˪В, ˪С, ˪D Решение: Окружность можно описать только около равнобедренной трапеции В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. ˪А= ˪В = 42° Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. ˪С=˪D=180°-42°=138° Ответ:˪В = 42°, ˪С=˪D=138° 3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол А на 58° больше угла В и в 4 раза больше угла С. Найдите углы четырехугольника. ˪ А =˪В+58°, ˪ А=4·˪С Найти: ˪А, ˪В, ˪С, ˪D Решение: ˪С=х, ˪А=4х, ˪В=4х-58° х=36° х+4х= 180° ˪D= 180-86=94° Ответ: 144°,86°, 36°, 94° 5х=180 - ˪А=4·36=144° ˪В= ˪А-58=144-58=86° 4) В четырехугольнике АВСD известно, что ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD. Дано: четырехугольник АВСD, ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52° А В С D О Найти: ˪AOD Решение: ˪АВС+˪ADC=68+112=180° Значит, около четырехугольника можно описать окружность. ˪BACи ˪ВDC вписанные и опираются на одну дугу, ˪BAC= ˪ВDC=23° ˪АDВ=˪ADC-˪BDС=112-23=89° Рассмотрим ∆АОD: ˪АОD=180-˪ADВ-˪DАС=180-52-89=39° Ответ: ˪АОD=39° 5) В четырехугольник АВСD вписана окружность. Найдите сторону CD, если АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 см. Дано: окружность вписана в четырехугольник АВСD. АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 см Найти: CD Решение: BC+AD=9+6=15 см АВ+СD=15 см по Т.10.3. СD=15-АВ=15-5=10 см Ответ: СD=10 см 6) Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции. Найти: MN Дано: окружность вписана в п/уг трапецию ABCD, R= 6 см, CD=20см. MN-средняя линия. А В С D M N Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN= Поскольку окружность вписана в трапецию, то суммы противолежащих сторон равны. BC+AD=AB+CD. AB=2R=2·6=12 см BC+AD=12+20=32 см. MN== Ответ: MN=16 см |