Производная сложной функции. Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если икс заменить любой дифференцируемой функцией
![]()
|
Пример 1. ![]() Сначала находим производную внешней функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обратите внимание, что внутренняя функция ![]() Ну и совершенно очевидно, что ![]() Результат применения формулы ![]() ![]() Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая: ![]() Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: ![]() Готово Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения. Пример 2 Найти производную функции ![]() Это пример для самостоятельного решения . Пример 3 Найти производную функции ![]() Как всегда записываем: ![]() Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() И, только потом выполняется возведение в степень ![]() ![]() Согласно формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции ![]() ![]() ![]() Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат: ![]() Готово. Пример 4 Найти производную функции ![]() Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так? Пример 5 Найти производную функции ![]() Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени ![]() ![]() Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции ![]() ![]() Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы: ![]() Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять). Пример 6 Найти производную функции ![]() Это пример для самостоятельного решения . Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного ![]() Пример 7 Найти производную функции ![]() Здесь можно использовать правило дифференцирования частного ![]() ![]() Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: ![]() Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. Используем наше правило ![]() ![]() Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз: ![]() Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила ![]() |