вацу. Всі методи дослідження знакопостійних та знакозмінних. Всі методи дослідження знакопостійних та знакозмінних (знакоперемежних) рядів відносно збіжності
 Скачать 71.48 Kb.
|
|
Всі методи дослідження знакопостійних та знакозмінних (знакоперемежних) рядів відносно збіжності. Нехай задана нескінченна послідовність дійсних чисел  Числовим рядом називається вираз  Числа  – члени ряду,  загальний член ряду, він показує закон, за яким складені члени ряду в залежності від свого порядкового номера. Суми:  називаються частинними сумами числового ряду, а складена з них послідовність – послідовністю частинних сум. Якщо існує скінченна границя S (сума цього ряду) послідовності його частинних сум  , коли n , тобто  то ряд називається збіжним, а число S називається сумою ряду. Якщо послідовність частинних сум ряду має нескінченну границю або зовсім її не має, то ряд називається розбіжним. Необхідна ознака збіжності числового рядуОзнака Лейбніца Теорема 1. Якщо ряд  ап збіжний, то його загальний член прямує до нуля при п ,  . До достатніх ознак збіжності знакопостійних рядів відносяться теореми, які дозволяють зводити питання про збіжність заданого ряду до аналогічного питання про другий ряд, що має більш простий або принаймні більш знайомий вигляд. Ці теореми базуються на основі порівняння членів досліджуваного ряду з відповідними членами іншого ряду, поведінка якого відома. Ознаки порівняння Теорема 2. Нехай задані два ряди з невід’ємними членами  (1)  (2). Тоді 1) якщо члени ряду (1) не перевищують відповідних членів ряду (2), тобто якщо  збігається, то збігається і ряд  2) якщо  ряд  п розбігається, то розбігається і ряд  .При застосуванні даної ознаки для дослідження рядів на збіжність необхідно знати, які ряди збіжні і які розбіжні. Для порівняння часто користуються рядами а)  Даний ряд називається рядом Діріхле або узагальненим гармонічним рядом. б)  Даний ряд, як відомо, є геометричною прогресією. Теорема 2 Гранична ознака порівняння. Нехай задані два ряди з додатними членами  , причому існує скінченна, відмінна від нуля границя  , то дані ряди або одночасно збіжні або одночасно розбіжні. 2. Ознака Д’Аламбера Теорема. Якщо для ряду з додатними членами  1 ап існує границя  , то ряд збіжний при k<1. Якщо  , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. У цьому випадку ряд необхідно дослідити за допомогою інших ознак.3. Радикальна ознака Коші Теорема. Якщо для ряду з додатними членами  існує границя  , то 1) ряд збіжний при k<1. Як і в ознаці Д’Аламбера якщо  , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. У цьому випадку ряд необхідно дослідити за допомогою інших ознак. 4. Інтегральна ознака Коші Теорема. Нехай заданий ряд  (1) члени якого додатні і не зростають  Нехай також f(x) – функція, яка визначена для всіх дійсних x1, неперервна, не зростає  Тоді, ряд (1) збіжний, якщо збіжний (існує) невластивий інтеграл  , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний. Схема дослідження збіжності ряду з додатними членами : 1.Перевірити виконання необхідної умови збіжності ряду  . 2. Якщо необхідна умова не виконується, то даний ряд розбігається. Якщо необхідна умова виконується, то для подальшого дослідження застосовується деяка достатня умова збіжності ряду |