вариант 08. X и определением суммарной погрешности измерений в виде доверительного интервала
 Скачать 63.84 Kb.
|
|
Вариант 08 Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического  , среднеквадратичного отклонения Sx и определением суммарной погрешности измерений в виде доверительного интервала – ±ƩΔРд. Исходные данные
Доверительная вероятность Рд = 0,8 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале. Уровень значимости q=0,02 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону. 1. Построение гистограммы Определяем величину размаха R (поле рассеяния): R = Xmax – Xmin Xmax = 30,230 – наибольшее из измеренных значений Xmin = 29,970 – наименьшее из измеренных значений R = Xmax – Xmin = 0,26 (мм). Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:   (количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным). Принимаем n = 7. Определяем ширину интервала h:   мм.Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi 1 интервал: Xmin1 – Xmax1 Xmin1 = Xmin = 29,970 мм Xmax1= Xmin1 + h = 29,970+ 0,037 = 30,007 мм 2 интервал: Xmin2 – Xmax2 Xmin2 = Xmax1 = 30,007 мм Xmax2= Xmin2 + h = 30,007+ 0,037 = 30,044 мм 3 интервал: Xmin3 – Xmax3 Xmin3 = Xmax2 = 30,044 мм Xmax3= Xmin3 + h = 30,044+ 0,037 = 30,081 мм 4 интервал: Xmin4 – Xmax4 Xmin4 = Xmax3 = 30,081 мм Xmax4= Xmin4 + h = 30,081+ 0,037 = 30,118 мм 5 интервал: Xmin5 – Xmax5 Xmin5 = Xmax4 = 30,118 мм Xmax5= Xmin5 + h = 30,118+ 0,037 = 30,155 мм 6 интервал: Xmin6 – Xmax6 Xmin6 = Xmax5 = 30,155 мм Xmax6= Xmin6 + h = 30,155+ 0,037 = 30,192 мм 7 интервал: Xmin7 – Xmax7 Xmin7 = Xmax6 = 30, 192 мм Xmax7= Xmin7 + h = 30,192+ 0,037 = 30,229 ≈ 30,23 мм Определяем середины интервалов Xoi 1 интервал  (мм)2 интервал  (мм)3 интервал  (мм)4 интервал  (мм)5 интервал  (мм)6 интервал  (мм)7 интервал  (мм)Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала, то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси) Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:        , мм     2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:  где Noi – теоретическая частота попадания в интервал Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:  где  – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;  – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (  ) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО: В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле: После подстановки получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:  мм ммКроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал NОi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале. Эту величину можно определить по формуле:  Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:  Для 1 интервала: Zo1 = -1,547, что соответствует величине  0,121Для 2 интервала: Zo2 = -1,045, что соответствует величине  0,055Для 3 интервала: Zo3 = -0,543, что соответствует величине  0,015Для 4 интервала: Zo4 = -0,041, что соответствует величине  0,0082Для 5 интервала: Zo5 = 0,448, что соответствует величине  0,010Для 6 интервала: Zo6 = 0.963 что соответствует величине  = 0,047Для 7 интервала: Zo7 = 1, 479, что соответствует величине  = 0,111Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi. Для 1 интервала:  .Для 2 интервала:  .Для 3 интервала:  .Для 4 интервала:  .Для 5 интервала:  .Для 6 интервала:  .Для 7 интервала:  .На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:  Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:  где  – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по справочным таблицам. В работе значение определено в Excel (функция ХИ2ОБР).Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами: уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут. В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02; числом степеней свободы, которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле: ν = n – 1 – r ν = 7 – 1 – 2 = 4 Таким образом, табличное значение  .Так как выполняется неравенство , то можно сказать, что фактический закон распределения совпадает с теоретическим законом нормального распределения.3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Рд, должно находится истинное значение измеряемой величины. Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:  где  – оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле: Таким образом:  Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным). Так как по условию Рд = 0,8, то значение функции Лапласа: F(Zp) = Рд/2 = 0,4. Из таблицы П.7.1 (Приложение 7) «Методических указаний и пример выполнения второй задачи» определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа. Так как условие выполняется, тоZp = 1,75 Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:  мм.Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие. Постоянные неисключенные составляющие: погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной 0,1 от цены деления шкалы прибора):  где С = 0,010 мм – цена деления шкалы прибора, указанная в задании (см. таблицу исходных данных).  мм;систематическая неисключенная погрешность округления результата:   мм.неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора):   мм.Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:   где  – поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 0,960.Тогда:  мм; мм.Для дальнейшего расчета выбирается наибольшее значение, т.е. принимаем  мм.В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:  мм.Определение суммарной погрешности измерения  :  мм.В качестве окончательного результата принимаем большее значение. Результат в общем виде:  мм50,103 ± 0,027 мм. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||