РАСЧЁТ БАЛКИ НА ЖЁСТКОСТЬ. сопромат задача №4. Задача расчёт балки на жёсткость номер схемы Нагрузка

• Название: Задача расчёт балки на жёсткость номер схемы Нагрузка
• Анкор: РАСЧЁТ БАЛКИ НА ЖЁСТКОСТЬ
• Дата: 10.01.2022
• Размер: 314.54 Kb.
• Имя файла: сопромат задача №4.docx
• Тип: Задача; #327423

Задача № 4. РАСЧЁТ БАЛКИ НА ЖЁСТКОСТЬ

Номер схемы	Нагрузка			Длина участка, м					[σ], МПа
	Р, кН	М, к	q, кН/м
1	55	185	50		0	2,3	1,8	2,2		240

Прогиб над левой опорой равен нулю: w₀ = 0.

Угол поворота начального сечения θ₀ определим из условия нулевого прогиба над опорой B:
EIw_B = EIw(L) = EIθ₀ L + R_A L³/6 - q₁(L - a₁)⁴/24 + q₁(L - b₁)⁴/24 - F₁(L - c₁)³/6 + M₁(L - d₁)²/2 =
= EIθ₀·6.3 + 49.8413·6.3³/6 - 50·(6.3 - 2.3)⁴/24 + 50·(6.3 - 4.1)⁴/24 - 55·(6.3 - 2.3)³/6 + 185·(6.3 - 4.1)²/2 =
= EIθ₀·6.3 + 1453.61 = 0 ⇒
⇒ EIθ₀ = -1453.61/6.3 = -230.732 кНм²;

Построение эпюр



Составим аналитические выражения Q(z), M(z), EIθ(z) и EIw(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Угол поворота сечения θ:
EIθ_I(z) = EIθ₀ + R_A z²/2 = -230.732 + 49.8413z²/2 =
= 24.9206z² - 230.732;

Значения EIθ на краях отрезка:
EIθ_I(0) = 24.9206·0² - 230.732 = -230.732 кНм²;
EIθ_I(2.3) = 24.9206·2.3² - 230.732 = -98.9021 кНм²;

Прогиб w:
EIw_I(z) = EIθ₀ z + R_A z³/6 = -230.732z + 49.8413z³/6 =
= 8.30688z³ - 230.732z;

Значения EIw на краях отрезка:
EIw_I(0) = 8.30688·0³ - 230.732·0 = 0;
EIw_I(2.3) = 8.30688·2.3³ - 230.732·2.3 = -429.614 кНм³;



Угол поворота сечения θ:
EIθ_II(z) = EIθ₀ + R_A z²/2 - q₁(z - a₁)³/6 - F₁(z - c₁)²/2 = -230.732 + 49.8413z²/2 - 50(z - 2.3)³/6 - 55(z - 2.3)²/2 = -230.732 + 24.9206z² - 50(z³/6 - 1.15z² + 2.645z - 2.02783) - 55(z²/2 - 2.3z + 2.645) =
= -8.33333z³ + 54.9206z² - 5.75z - 274.816;

Значения EIθ на краях отрезка:
EIθ_II(2.3) = -8.33333·2.3³ + 54.9206·2.3² - 5.75·2.3 - 274.816 = -98.9021 кНм²;
EIθ_II(4.1) = -8.33333·4.1³ + 54.9206·4.1² - 5.75·4.1 - 274.816 = 50.4836 кНм²;

На этом участке эпюра θ пересекает горизонтальную ось. Найдем точку пересечения:
EIθ_II(z) = -8.33333z³ + 54.9206z² - 5.75z - 274.816 = 0;
  Корни кубического уравнения найдем по тригонометрической формуле Виета.
  Приведем уравнение к виду z³ + az² + bz + c = 0, для чего разделим его на -8.33333:
z³ - 6.59048z² + 0.69z + 32.9779 = 0;
a = -6.59048; b = 0.69; c = 32.9779;
  Вычисляем Q, R и S:
Q = (a² - 3b)/9 = 4.59604;
R = (2a³ - 9ab + 27c)/54 = 6.64487;
S = Q³ - R² = 52.9307;
S > 0 ⇒ уравнение имеет три корня:
φ = arccos(R/Q^1.5)/3 = 0.27689 рад;
z = -2Q^½cos(φ) - a/3 = -1.92754;
z = -2Q^½cos(φ + 2π/3) - a/3 = 5.27407;
z = -2Q^½cos(φ - 2π/3) - a/3 = 3.24395;
  Корни -1.92754 и 5.27407 не лежат внутри рассматриваемого участка.
z₁ = 3.24395 м;

Прогиб w:
EIw_II(z) = EIθ₀ z + R_A z³/6 - q₁(z - a₁)⁴/24 - F₁(z - c₁)³/6 = -230.732z + 49.8413z³/6 - 50(z - 2.3)⁴/24 - 55(z - 2.3)³/6 = -230.732z + 8.30688z³ - 50(z⁴/24 - 0.38333z³ + 1.3225z² - 2.02783z + 1.166) - 55(z³/6 - 1.15z² + 2.645z - 2.02783) =
= - 2.08333z⁴ + 18.3069z³ - 2.875z² - 274.816z + 53.2306;

Значения EIw на краях отрезка:
EIw_II(2.3) = - 2.08333·2.3⁴ + 18.3069·2.3³ - 2.875·2.3² - 274.816·2.3 + 53.2306 = -429.614 кНм³;
EIw_II(4.1) = - 2.08333·4.1⁴ + 18.3069·4.1³ - 2.875·4.1² - 274.816·4.1 + 53.2306 = -448.814 кНм³;

Локальный экстремум в точке z₁ = 3.24395 м:
EIw_II(3.24395) = - 2.08333·3.24395⁴ + 18.3069·3.24395³ - 2.875·3.24395² - 274.816·3.24395 + 53.2306 = -474.278 кНм³;



Угол поворота сечения θ:
EIθ_III(z) = EIθ₀ + R_A z²/2 - q₁(z - a₁)³/6 + q₁(z - b₁)³/6 - F₁(z - c₁)²/2 + M₁(z - d₁) = -230.732 + 49.8413z²/2 - 50(z - 2.3)³/6 + 50(z - 4.1)³/6 - 55(z - 2.3)²/2 + 185(z - 4.1) = -230.732 + 24.9206z² - 50(z³/6 - 1.15z² + 2.645z - 2.02783) + 50(z³/6 - 2.05z² + 8.405z - 11.4868) - 55(z²/2 - 2.3z + 2.645) + 185(z - 4.1) =
= -47.5794z² + 599.5z - 1607.66;

Значения EIθ на краях отрезка:
EIθ_III(4.1) = -47.5794·4.1² + 599.5·4.1 - 1607.66 = 50.4836 кНм²;
EIθ_III(6.3) = -47.5794·6.3² + 599.5·6.3 - 1607.66 = 280.768 кНм²;

Прогиб w:
EIw_III(z) = EIθ₀ z + R_A z³/6 - q₁(z - a₁)⁴/24 + q₁(z - b₁)⁴/24 - F₁(z - c₁)³/6 + M₁(z - d₁)²/2 = -230.732z + 49.8413z³/6 - 50(z - 2.3)⁴/24 + 50(z - 4.1)⁴/24 - 55(z - 2.3)³/6 + 185(z - 4.1)²/2 = -230.732z + 8.30688z³ - 50(z⁴/24 - 0.38333z³ + 1.3225z² - 2.02783z + 1.166) + 50(z⁴/24 - 0.68333z³ + 4.2025z² - 11.4868z + 11.774) - 55(z³/6 - 1.15z² + 2.645z - 2.02783) + 185(z²/2 - 4.1z + 8.405) =
= - 15.8598z³ + 299.75z² - 1607.66z + 2196.86;

Значения EIw на краях отрезка:
EIw_III(4.1) = - 15.8598·4.1³ + 299.75·4.1² - 1607.66·4.1 + 2196.86 = -448.814 кНм³;
EIw_III(6.3) = - 15.8598·6.3³ + 299.75·6.3² - 1607.66·6.3 + 2196.86 = 0;