контрольная. Задача 13 р ис. 1

• Название: Задача 13 р ис. 1
• Анкор: контрольная
• Дата: 25.11.2022
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Zadacha_1-3_2_variant.docx
• Тип: Задача; #812568

Задача №1-3

Р ис.1

В полой трубе прямоугольного сечения (см. рисунок 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора имеет две составляющие:

где





; f- частота электромагнитных колебаний
-длина волны, свободно распространяющейся в однородной изотропной среде с параметрами и
– скорость света в этой среде

Таблица исходных данных

№ вар.	,А/м			a, см	b, см		, ГГц	, ГГц
02	8	1.69	1	5	3	0.75	5.5	4

Решение

1. Используя уравнения Максвелла, определить комплексные амплитуды составляющих вектора 



Проекции комплексной амплитуды вектора на оси координат:

Для того чтобы найти выражение для вектора E (вектора электрического поля),

воспользуемся уравнением Максвелла в комплексной форме:



где и – комплексные амплитуды напряженностей магнитного и электрического полей соответственно,

Выразим комплексную амплитуду вектора из уравнения Максвелла:



Спроектируем полученное равенство на оси координат:

Разложим по декартовым координатам:

-



Найдём частные производные:






Преобразуем полученные выражения и получим выражения для проекций составляющих напряженности электрического поля для комплексных амплитуд напряженности электрического поля:





Комплексные амплитуды проекций векторов поля:


Стенки трубы идеально проводящие, соответственно
Комплексные амплитуды составляющих вектора :


Комплексные амплитуды составляющих вектора :



2.Определить диапазон частот, в котором -действительное число, т. е. рассматриваемое поле – бегущая волна.

Электромагнитная волна распространяется по волноводу, если выполняется условие:

Из технического задания следует:





где a, b – внутренние поперечные размеры волновода

Подставляя числовые данные, получаем:





Где ) – скорость света

Рассчитаем

Получаем, что при f > ГГц действительное число,

а при f < ГГц – мнимое число

3.Записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов и для двух случаев: когда f принадлежит найденному в п.2 диапазону частот и когда f не принадлежит этому диапазону.



)

Получим выражения для комплексных значений проекции составляющих напряженности магнитного и электрического полей (для этого каждое из выражений умножим на ) и получим следующие выражения:




Выражения для проекций составляющих напряженности магнитного поля для мгновенных значений напряженности магнитного поля получим по общим формулам:






Выражение для проекции составляющей напряженности электрического поля для мгновенного значения напряженности электрического поля получим по общей формуле:



)

Запишем комплексные амплитуды составляющих векторов и с учетом того, что .





4.Рассчитать и построить графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении от координаты x при y=0.5b в интервале и от координаты y при x=0.5a в интервале , а также зависимости тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0.5a; y=0.25b в интервале на частотах и
Примечание: расчёты и построение графиков произведём в математическом пакете MathCad 15.0

1. 
   Графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении от координаты x при y=0.5b в интервале
   

2. 
   Графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении от координаты y при x=0.5a в интервале
   

3. Графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z вдоль линии x=0.5a; y=0.25b в интервале на частоте








4.Графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z вдоль линии x=0.5a; y=0.25b в интервале на частоте







5. Проверить выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора и нормальной составляющей вектора на верхней (y=b) стенке трубы.

Проверка граничных условий заключается в проверке истинности утверждений и , т.е. равенста нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).Для верхней стенки волновода (y=b), касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие , а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая .



Возьмем необходимые ненулевые составляющие и подставим y=b.


Получаем, что:



Таким образом, граничные условия на верхней стенке трубы волновода выполняются.

6.Найти комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на боковой (x=a) стенке трубы.


Комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:



Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:
Для левой стенки волновода нормаль противоположна вектору : .



Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:






Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов будет равна:





7.Вычислить средние за период значения объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей.




Объемная плотность энергии может быть найдена по формулам:



В данном случае, преобразуем эти выражения следующим образом:











8.Записать выражение для комплексного вектора Пойтинга для двух случаев: когда частота принадлежит найденному в п. 2 диапазону и когда она не принадлежит этому диапазону. Определить среднее за период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности реактивного потока энергии.
Комплексное значение вектора Пойнтинга запишем по формуле:


Где -комплексно-сопряженное выражение



а) Рассмотрим режим бегущей волны:











Cоставляющие по оси x, y чисто мнимые, следовательно:


б) Во втором случае (f


В этом случае вектор Пойтинга чисто мнимый и переноса энергии не происходит.





9.Записать выражения для мгновенных значений плотностей активного и реактивного потоков энергии для двух случаев, указанных п.8



Запись выражений для мгновенного значения вектора Пойнтинга:





а) Рассмотрим режим бегущей волны:












б) Во втором случае (f











10.Вычислить средний за период поток энергии через поперечное сечение трубы.
Мощность за период потока энергии через поперечное сечение волновда определяется по формуле:



Вычисления производим на частоте f ( )

Выражения для среднего значения вектора Пойнтинга найдем по формуле:









Расчет произведём в MathCad:



11. Определить фазовую скорость и скорость распространения энергии рассматриваемой волны. Рассчитать и построить графики зависимостей и от частоты.

Фазовую скорость вычисляем по формуле:



Подставив в формулу значения констант и частоту, получим:



Фазовая скорость и скорость распространения энергии связаны следующим соотношением:



Отсюда скорость распространения энергии равна:



Подставив в формулу значение константы и найденное ранее значение фазовой скорости, получим:



Графики зависимостей этих скоростей от частоты:



12. Считая, что стенки трубы выполнены из реального металла имеющего 

  , на основе граничных условий Леонтовича-Щукина определить коэффициент затухания для заданной волны.
Формула для расчета коэффициента затухания на основе граничных условий Леонтовича-Щукина имеет вид:

,

где - это активная часть поверхностного сопротивления волновода



Раскроем частотную зависимость коэффициента затухания:

Сделав замену и подставив в полученное выражение для коэффициента затухания, получим:






13. Рассчитать и построить частотную зависимость коэффициента затухания в волноводе.
Оконечный результат и построение графика зависимости представим и выполним в математическом пакете MathCad 15.0

14.Определить тип волны, распространяющейся в волноводе. Нарисовать структуру силовых линий электрического и магнитного полей этой волны. Изобразить структуру силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.

В прямоугольном волноводе могут распространяться волны электрических ( ) и магнитных ( ) типов.

У волны электрического типа вектор напряженности электрического поля имеет продольную составляющую (совпадающую с направлением распространения) и поперечные составляющие, а вектор напряженности магнитного поля – только поперечные составляющие.

У волны типа вектор напряженности магнитного поля имеет продольную и поперечные составляющие, вектор напряженности электрического поля – только поперечные.

Индексы m и n связаны с функциями распределения амплитуд вдоль поперечных координат x и y. Для периодических функций распределения амплитуд индекс m определяет число полупериодов поля, укладывающихся вдоль широкой стенки волновода. Аналогично индекс n определяет число полупериодов поля, укладывающихся вдоль узкой стенки волновода.
Таким образом, тип волны, распространяющейся в волноводе -
Под структурой поля волны в волноводе понимают показанное в виде векторных линий распределение составляющих поля и в фиксированный момент времени

Структура силовых линий электрического и магнитного полей заданной волны
3Д-проекция:




Проекции в различных плоскостях:


Структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.



Использованная литература:
[1]-Техническая электродинамика / Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2002.
[2]-Конспект лекций за 2022 год.