Практикум по экономике. Задача Четыре индивида потребляют два блага в количествах X и Y. Их предпочтения описываются функциями полезности U
 Скачать 123.94 Kb.
|
|
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО МИКРОЭКОНОМИКЕ Задача 1. Четыре индивида потребляют два блага в количествах X и Y. Их предпочтения описываются функциями полезности U 1 = X 0.2 Y 0.3 ; U 2 = 2lnX + 3lnY; U 3 = X 3 Y 2 ; U 4 = 4X 2 Y 3 Определить, какие индивиды имеют одинаковые предпочтения, а какие — различные. Решение. Первый, второй и четвертый имеют одинаковые предпочтения, предпочтения третьего отличны от остальных. Можно заметить, что U 2 = 10lnU 1 , U 4 = 4 10 1 U — монотонно возрастающие функции, а это свидетельствует об одинаковости предпочтений. В более сложных случаях можно воспользоваться предельными нормами замещения. Так, для функции U 1 , 3 0 ; 2 0 7 0 2 0 1 3 0 8 0 1 − − = ∂ ∂ = ∂ ∂ Y X Y U Y X X U так что предельная норма замещения равна 3 2 ) ( MRS 1 1 1 X Y Y U X U U XY ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ = Как нетрудно убедиться, тот же результат справедлив для U 2 и U 4 , а для U 3 результат будет иным: 2 3 ) ( MRS 3 3 3 X Y Y U X U U XY ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ = _____________________________________________________________________________ Задача 2. Индивид, получающий доход 900 ед., потребляет два блага в количествах X и Y, его предпочтения описываются функцией полезности U = XY 3 . Найти набор благ, потребляемый индивидом при ценах P X = 5, P Y = 12. Решение. Предельные полезности благ равны ; 3 Y X U MU X = ∂ ∂ = 3 2 XY Y U MU Y = ∂ ∂ = Предельная норма замещения равна отношению цен: 12 5 3 / / = = ∂ ∂ ∂ ∂ = X Y Y U X U MRS XY Отсюда Y = 1.25X. Подставляя это соотношение в бюджетное условие P X X + P Y Y = = 900, найдем: X = 400, Y = 500. _____________________________________________________________________________ Задача 3 . Зависимость от дохода Y объема q потребления домашним хозяйством некоторого блага описывается равенством 3 2 ) 100 ( ) ( Y Y Y q + = а) В каком диапазоне значений дохода данное благо является нормальным, а в каком — низшим? б) В каком диапазоне значений дохода данное благо является необходимым, а в каком — роскошным? Решение. а) К нормальным относятся блага, объем потребления которых с ростом дохода возрастает; к низшим — те блага, объем потребления которых с ростом дохода убывает. При этом отношение потребителя к благу зависит от дохода: обычно при достаточно высоком доходе благо из категории нормальных переходит в категорию низших. Достаточно убедиться (например, с помощью дифференцирования), что функция q(Y) при 0 < Y < 100 возрастает (т. е. благо является нормальным), а при Y > 100 убывает (благо становится низшим). б) К необходимым относят нормальные блага, доля которых в бюджете с ростом дохода убывает, к роскошным — блага, доля которых с ростом дохода возрастает. Доля расходов на потребление данного блага в бюджете определяются величиной pq/Y , где p — цена блага. Функция , ) 100 ( ) ( 3 Y pY Y Y pq + = как нетрудно убедиться, возрастает при 0 < Y < 50 (благо является роскошным), а при Y > 50 — убывает, так что к необходимым его можно отнести при 50 < Y < 100. _____________________________________________________________________________ Задача 4. Индивид потребляет два блага в количествах X и Y; его спрос на блага описывается уравнениями 4 2 50 ; 8 4 100 Y X D Y Y X D X P P Q P P Q − − = − − = Найти прямые и перекрестные эластичности спроса на блага при ценах P X = 2, P Y = 3. Каков характер взаимозависимости благ в потреблении? Решение. Прямая и перекрестная эластичности спроса на первое благо равны [ ] [ ] 353 0 68 24 8 4 100 4 ; 118 0 68 8 8 4 100 4 − = − = − − − = − = − = − − − = Y X X Y X Y X X X X P P P P Q E P P P P Q E Аналогично находятся эластичности спроса на второе благо: [ ] [ ] 353 0 ; 118 0 − = − = Y Y X Y P Q E P Q E Отрицательные перекрестные эластичности свидетельствуют о том, что блага являются взаимно дополняющими. Более того, они являются абсолютными дополнителями друг друга: они потребляются комплектно, каждая единица второго блага потребляется с двумя единицами первого, о чем свидетельствует прямое сопоставление функций спроса _____________________________________________________________________________ Задача 5. Спрос индивида на некоторый товар описывается функцией 300 P Q D − = При каких ценах его спрос является высокоэластичным, при каких — низкоэластичным? Решение. Модуль эластичности спроса описывается равенством 300 2 1 P P − ⋅ = η Высокоэластичным признают спрос при η > 1, что имеет место при P > 200. Соответственно, низкоэластичный спрос ( η < 1) имеет место при P < 200. _____________________________________________________________________________ Задача 6. Фирма производит продукт в количестве q, используя два ресурса в количествах X и Y; ее производственная функция q = 2X 0.2 Y 0.8 . Цены ресурсов p X = 5, p Y = = 10. Привести уравнение траектории оптимального роста и найти функцию затрат фирмы. Решение. Траектория оптимального роста — это множество комбинаций ресурсов, минимизирующих затраты при каждом значении объема производства. На этой траектории предельная норма технического замещения равна отношению цен ресурсов: MRTS XY = MP X / MP Y = p X /p Y , или , 10 5 25 0 8 0 2 2 0 2 MRTS 2 0 2 0 8 0 8 0 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − X Y Y X Y X XY откуда следует уравнение траектории оптимального роста Y = 2X. На ней выполняется равенство q = 2X 0.2 · (2X) 0.8 , или q = 2 1.8 X. Отсюда X = 2 –1.8 q ≈0.287q, Y = 2X ≈ 0.574q. Эти результаты позволяют определить функцию затрат фирмы: TC(q) = p X X + p Y Y = 5 · 0.287q + 10 · 0.574q = 7.18q. _____________________________________________________________________________ Задача 7. Общие затраты фирмы описываются равенством TC = 200 + 10q + 0.5q 2 . Привести выражения для средних и предельных затрат. Чему равен минимум средних затрат и при каком объеме продукции он достигается? Решение. Средние и предельные затраты описываются равенствами 10 MC ; 5 0 10 200 АС q q q + = + + = Минимум средних затрат достигается при AC = MC, т. е. при q = 20; min AC = 30. _____________________________________________________________________________ Задача 8. Общие затраты фирмы описываются равенством TC = 800 + 20q + 2q 2 . Фирма продает свой продукт по цене P = 120. Найти зависимость прибыли от объема выпуска. При каких значениях объема деятельность фирмы окажется безубыточной? При каком объеме прибыль максимальна? Решение. При цене P = 120 общая выручка фирмы составляет TR = 120q, так что ее прибыль описывается функцией Π( q) = TR – TC = – 800 + 100q – 2q 2 . Неравенство – 800 + 100q – 2q 2 ≥ 0 выполняется при 10 ≤ q ≤ 40. Максимум прибыли достигается при q = 25 и равняется Π( 25) = 450. ________________________________________________________________________ Задача 9. На совершенно конкурентном рынке с функцией спроса Q D (P) = 2000 – 20P действуют фирмы с функциями затрат TC(q) = 450 + 10q + 2q 2 . Сколько фирм будет на рынке в условиях равновесия длительного периода? Решение. В равновесии длительного периода устанавливается цена, равная минимуму средних затрат каждой из фирм. Средние затраты принимают минимальное значение при объеме производства, при котором они равны предельным затратам, AC(q) = = MC(q), то есть 450/q + 10 + 2q = 10 + 4q, откуда 15 2 / 450 = = q При этом AC = MC = 70, и на этом же уровне устанавливается цена, P = 70. Объем спроса при этом равен Q = 2000 – 20·70 = 600. Число фирм равно Q/q = 600/15 = 40. ____________________________________________________________________________ Задача 10. На рынке с функцией спроса Q D = 300 – 5P действует монополия с функцией затрат TC = 300 + 20Q + 0.3Q 2 . Найти прибыль монополии. Решение. Монополия, максимизирующая прибыль, выбирает объем продаж, при котором предельная выручка равна предельным затратам. Обратная функция спроса P D = 60 – 0.2Q, так что предельная выручка 4 0 60 )] ( [ ) ( TR ) ( MR Q dQ Q P Q d dQ Q d Q D − = ⋅ = = Приравнивая ее предельным затратам MC(Q) = 20 + 0.6Q, находим, что максимум прибыли достигается при выпуске Q = 40. При этом по условиям спроса устанавливаются цена и выручка P = 60 – 0.2·40 = 52, TR = 40·52 = 2080. Затраты составляют TC = 300 + 20·40 + 0.3·40 2 = 1580, так что прибыль равна TR – TC = 2080 – 1580 = 500. _____________________________________________________________________________ Задача 11. Дуополия встречается со спросом Q D = 40 – 0.2P. Функции затрат фирм: ТС 1 (q 1 ) = 250 + 15q 1 ; ТС 2 (q 2 ) = 300 + 10q 2 Здесь Q — рыночный объем продаж, q 1 , q 2 — объемы продаж фирм. Найти рыночную цену, объемы продаж и прибыли фирм в состоянии равновесия Курно. Решение. Модель Курно предполагает объемную конкуренцию олигополистов: каждый из них выбирает объем продаж, максимизирующий его прибыль при условии, что его конкуренты не изменяют своих объемов продаж. Равновесие Курно — состояние рынка, при котором каждый участник понес бы потери, изменив свой выбор в одностороннем порядке. Обратная функция спроса: P D = 200 – 5Q =200 – 5(q 1 + q 2 ). Каждая из фирм решает задачу: 1 max ) 15 250 ( ) 5 5 200 ( ) , ( 1 1 2 1 2 1 1 q q q q q q q → + − ⋅ − − = Π ; 2 1 2 2 1 2 1 2 max ) 10 300 ( ) 5 5 200 ( ) , ( q q q q q q q → + − ⋅ − − = Π Условия максимума прибыли: = − − − = ∂ Π ∂ = − − − = ∂ Π ∂ 1 0 10 10 5 200 ;0 15 5 10 200 2 1 1 2 2 1 1 q q q q q q сводятся к системе уравнений 185 = 10q 1 + 5q 2 ; 190 = 5q 1 + 10q 2 Ее решение: q 1 = 12, q 2 = 13; суммарный объем продаж Q = 25, цена P = 200 – 5·25 = 75. Выручка и затраты фирм: TR 1 = 75·12 = 900; TC 1 = 250 + 15·12 = 430; TR 2 = 75·13 = 975; TC 2 = 300 + 10·12 = 420. Таким образом, прибыли фирм равны Π 1 = 900 – 430 = 470; Π 2 = 975 – 420 = 555. _____________________________________________________________________________ Задача 12. Фирма является монополистом на внутреннем рынке, где встречается со спросом Q D = 200 – 4P. Она покупает сырье на мировом рынке в условиях совершенной конкуренции по цене W = 10. Производственная функция фирмы Q = 5X, где X — объем потребляемого сырья. Определить объем производства и прибыль фирмы. Решение. Равновесие фирмы на рынках продукта и единственного переменного ресурса достигается при выполнении условия MR·MP = ME, где MR — предельная выручка на рынке продукта, MP — предельный продукт ресурса, ME — предельные расходы на ресурс. Поскольку сырье покупается на совершенно конкурентном рынке, его цена не зависит от объема покупок, так что ME = W = 10. Предельная выручка монополии ( ) ( ) 5 0 50 ) 25 0 50 ( ) ( MR Q Q Q dQ d Q P Q dQ d D − = − ⋅ = ⋅ = Предельный продукт ресурса 5 MP = = dX dQ Таким образом, объем производства определяется условием (50 – 0.5Q)·5 = 10, откуда Q = 96. Цена продажи продукта равна P = 50 – 0.25·96 = 26, выручка TR = 26·96 = 2496. При данной производственной функции Q = 5X объем потребляемого сырья X = Q/5 = 19.2, расходы на сырье TE = W·X = 10·19.2, так что прибыль фирмы равна 2496 – 192 = 2304. _____________________________________________________________________________ Задача 13. Обществосостоит из двух индивидов, A и B. Множество потребительских возможностей определяется условием (U A – 20) 2 + (U B – 40) 2 ≤ 2500, U A ≥ 0, U B ≥ 0. Описать подмножество потребительских возможностей, эффективных по Парето. Решение. В координатах U A , U B множество потребительских возможностей — часть круга радиуса 50 с центром в точке (20, 40), лежащая в положительном квадранте. Подмножество эффективных по Парето возможностей — «северо-восточная» четверть окружности: (U A – 20) 2 + (U B – 40) 2 = 2500, U A ≥ 20, U B ≥ 40. ________________________________________________________________________ Задача 14. Фирма производит продукт с предельными частными затратами MPC = 20 + 5Q и загрязняет внешнюю среду; предельные внешние затраты, обусловленные загрязнением, составляют MEC = 12. Предельные общественные выгоды от производства этого продукта MSB = 80 – 3Q. а) Каков объем производства продукта без вмешательства государства? б) Какова должна быть ставка корректирующего налога? Каков при введении налога объем производства продукта? Решение. а) Общество оплачивает общественные выгоды, так что оптимальный для фирмы объем производства определяется равенством MSB = MPC, откуда Q = 7.5. б) Корректирующий налог имеет своей целью интернализацию отрицательного внешнего эффекта, так что его ставка t = МЕС = 12. Таким образом, на фирму дополнительно к частным возлагаются внешние затраты. Теперь оптимальный объем производства определяется равенством предельных общественных затрат MSC = MPC + MEC = 32 + 5Q предельным общественным выгодам (MSC = MSВ). Из равенства 32 + 5Q = 80 – 3Q следует Q = 6. |