Задача 1. Задача Определить заряд

• Название: Задача Определить заряд
• Дата: 29.10.2022
• Размер: 58.03 Kb.
• Имя файла: Задача 1.docx
• Тип: Задача; #760522

Задача 1.1. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3,11Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U₀ = 1,73 В до U = 5,49В в течение t = 20,31 сек и заряд Q₁, прошедший по проводу за первые 5 сек.

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчёта заряда формулой Q = It нельзя. Поэтому возьмём дифференциал заряда dQ = Idt и проинтегрируем:

(1)

Выразив силу тока по закону академика Петрова-Ома, получим

(2)

Напряжение U в данном случае переменное, оно зависит от времени. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой

U = U₀+kt, (3)

где k - коэффициент пропорциональности. Подставив выражение (3) для U в формулу (2), найдём



Проинтегрировав, получим

(4)

Значение коэффициента пропорциональности k найдём из формулы (3), если заметим, что по условию задачи t = 20,31 с, U = 5,49 В U₀ = 1,73В:

k = (U - U₀) / t = (5,49-1,73)/20,31 = 0,19 B/c.

Подставив значения величин вформулу (4), найдём

Q = = =23,90Кл.

Заряд Q₁, прошедший по проводу за первые 5 сек, равен

Q₁ = = =3,55Кл.




Рис. 1.1
Задача 1.2. Потенциометр с сопротивлением R_П= 100Ом подключён к источнику тока, ЭДС Е которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (рис. 1.1). Определить показание вольтметра с сопротивлением R_B=500Ом, соединённого проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключённом вольтметре?

Решение. Показание U₁ вольтметра, подключённого к точкам А и В (рис. 1.1), определяется по формуле

U₁ = I₁ R₁, (1)

где I₁ - сила тока в неразветвленной, части цепи; R₁ – сопротивление параллельно соединённых вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдём по закону академика Петрова-Ома для всей цепи:

I₁ = Е / (R+r), (2)

где R - сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

R = R_П / 2 + R₁. (3)

Сопротивление R₁, то есть сопротивление двух параллельно соединённых потребителей, а именно вольтметраR_B и второй половины потенциометра R/2. Это сопротивление может быть найдено по формуле для проводимостей откуда

R_l= R R_B / (R + 2R_B).

1. Подставив в эту формулу числовые значения величин, и произведя вычисления, найдём

R_l = 45,5Ом.

2. Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока:

= 1,03 А

3. Если подставить значения I₁ и R₁в формулу (1), то найдём показание вольтметра: U₁ = 46,88В.

4. Разность потенциалов U_АВ между точками А и В при отключённом вольтметре равна произведению неизвестного тока I₃ в новой неразветвленной части цепи, на половину сопротивления потенциометра, т. е. U_АВ = I₃ R_П/2.Ток I₃ в новой неразветвленной части цепи равен

I₃ = Е / (R_П + r),

следовательно выражение для разности потенциалов или для напряжения U_АВ между точками А и В имеет вид

U_АВ = Е R_П / (R_П + r)/2

Подставив сюда значения величин ε, rи R_Пполучим

U_АВ = 50В.



Рис. 1.2
Пример 1.3. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2,5 с по линейному закону от I₀ = 1 до I_max = 6 А (рис. 1.2). Определить количество теплоты Q₁, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ - за оставшееся время, а также найти отношение этих количеств теплоты Q₂/Q₁.

Решение. Закон Джоуля - Ленца Q = I²Rt применим в случае постоянного тока (I= const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде производной по времени

dQ = I²R dt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае – линейной

I = I₀+kt, (2)

где k - коэффициент пропорциональности, равный отношению приращений силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:

k = ΔI/Δt.

С учётом равенства (2) формула (1) примет вид

dQ = R (I₀+kt)² dt. (3)

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δt = t₂ - t₁, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t₁до t₂:



При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t₁= 0, t₂ = 1 с и, следовательно,

Q₁ = 86,67 Дж,

а за оставшееся время - пределы интегрирования t₁ = 1 с, t₂ = 2,5 с и тогда

Q₂ = 630 Дж.

Следовательно,

Q₂/Q₁ = 7,27,

т. е. за оставшееся время выделится теплоты в 7,27 раз больше, чем за первую секунду.