Задача Параболы y x
 Скачать 111.51 Kb.
|
|
Всероссийская олимпиада школьников по математике 2019–2020 уч. г. Школьный этап 11 класс Задача 1. Параболы y = x 2 + ax + b и y = x 2 + cx + d пересекают ось Ox в точке (2019; 0). Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью Ox расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью Oy расположены симметрично относительно начала коор- динат. Задача 2. Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и си- ний цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов? Задача 3. На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Най- дите сторону данного квадрата. Задача 4. У Малыша и Карлсона есть длинная шоколадка 15 × 100. Они по очереди выедают из неё квадратные куски любого размера (куски можно вы- едать только по линиям сетки). Начинает Карлсон. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Задача 5. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка P — середина ребра AA 1 , точ- ка Q — середина ребра CD, точка R — середина ребра B 1 C 1 . Докажите, что ∠P B 1 Q < ∠P RQ. Задача 6. Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство 1 + bc a + 1 + ca b + 1 + ab c > p a 2 + 2 + p b 2 + 2 + p c 2 + 2. Продолжительность олимпиады — 120 минут. За полное решение каждой задачи даётся 4 балла. Всероссийская олимпиада школьников по математике 2019–2020 уч. г. Школьный этап 11 класс Задача 1. Параболы y = x 2 + ax + b и y = x 2 + cx + d пересекают ось Ox в точке (2019; 0). Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью Ox расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью Oy расположены симметрично относительно начала коор- динат. Задача 2. Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и си- ний цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов? Задача 3. На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Най- дите сторону данного квадрата. Задача 4. У Малыша и Карлсона есть длинная шоколадка 15 × 100. Они по очереди выедают из неё квадратные куски любого размера (куски можно вы- едать только по линиям сетки). Начинает Карлсон. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Задача 5. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка P — середина ребра AA 1 , точ- ка Q — середина ребра CD, точка R — середина ребра B 1 C 1 . Докажите, что ∠P B 1 Q < ∠P RQ. Задача 6. Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство 1 + bc a + 1 + ca b + 1 + ab c > p a 2 + 2 + p b 2 + 2 + p c 2 + 2. Продолжительность олимпиады — 120 минут. За полное решение каждой задачи даётся 4 балла. |