Пластина. Пластина варианты. Задача Рассмотрим расчёт температурного поля в пластине с теплоизоляцией (рис. 1)
 Скачать 151.5 Kb.
|
|
Задача 2. Рассмотрим расчёт температурного поля в пластине с теплоизоляцией (рис. 1).  Рис. 2 – Cхема пластины Температурное поле в изоляции и пластине определяется из решения уравнений теплопроводности  ,  ; (9) ,  . (10)Начальное условие для уравнений (9), (10) есть  ;  . (11)На поверхности изоляции задаётся граничное условие III-го рода  . (12)На границе контакта изоляции и пластины задаётся граничное условие IV-го рода в виде равенства тепловых потоков и температур.  ;  . (13)На поверхности пластины при  задаётся граничное условие III-го рода . (14)Для решения задачи (9)...(14) применим метод конечных разностей. В области интегрирования построим разностную сетку (рис. 2). Изоляцию разделим на N-1 частей размером  . Толщину пластины разделим на K частей размером  . Рис. 3 – Разностная сетка Узел с номером N находится на границе контакта изоляции и пластины при  , узел M – на конце пластины, при  . Всего в пластине содержится M=K+N узлов.Уравнение (9) аппроксимируем явной разностной схемой  ,  (15)и приведём к виду  , i=2,3,...,N–1. (16)Уравнение (10) аппроксимируем явной разностной схемой  ,  . (17)и приведём к виду  , i=N+1,...,M–1. (18)Рассмотрим, как выбрать шаг интегрирования по времени  . Для явной схемы шаг интегрирования выбирается из условия устойчивости  , (19)где С – число Куранта, должно быть не более 0,5. Таким образом допустимый шаг по времени для изоляции выбирается из условия  , (20)а для пластины – из условия  . (21)Шаг интегрирования по времени должен быть одинаковым и для изоляции, и для пластины и равен меньшему из двух значений (20) и (21). В этом случае условие устойчивости (19) будет выполнено и для изоляции, и для пластины. Расчёт начинается с граничного условия (12). В разностном виде это условие записывается как  ,откуда определяется температура в узле i=1.  . (22)где  .Затем по уравнению (16) определяется температура в узлах  . Рассмотрим переход от изоляции к пластине через узел i=N. Аппроксимируем условие (13) следующим образом.   . (23)Отсюда найдём температуру в узле i=N.  ,  . (24)Температуру  в (24) определим из уравнения (18), записанного для узла i=N+1. . (25)Подставив (25) в (24), получим формулу для определения температуры в узле i=N.  . (26)После этого рассчитаем температуру в узлах i=N+1,...,M–1 по уравнению (18). И в завершение процедуры расчёта определим температуру в узле i=M из граничного условия (14).  ,  . (27)Общие данные.  0,02 м;  0,003 м;  ºС;  ºС;  вт/мК; К=6; N=5
|
, м2/с
, Вт/мК
, м2/с
, Вт/мК
, Вт/м2К