Задачи для подготовки к экзамену по ТВиМС. Задачи для подготовки к экзамену по твимс (список вопросов, понятий, на понимание и повторение которых стоит обратить особое внимание)

• Название: Задачи для подготовки к экзамену по твимс (список вопросов, понятий, на понимание и повторение которых стоит обратить особое внимание)
• Анкор: Задачи для подготовки к экзамену по ТВиМС.docx
• Дата: 20.03.2019
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: Задачи для подготовки к экзамену по ТВиМС.docx
• Тип: Инструкция; #26190

Задачи для подготовки к экзамену по ТВиМС (+список вопросов, понятий, на понимание и повторение которых стоит обратить особое внимание)

Инструкция: задачи даны для тренировки (все решать необязательно, я специально скинула все, что есть, чтобы можно было потренироваться), большая часть с семинаров.

Какое количество из них решать - ваш выбор. Делайте, пока не почувствуете, что разобрались с разделом. Если все понятно, можно не делать.

Обязательно на экзамене знать определения (берите определения, которые давали на лекциях):

- вероятности

- формула Байеса, формула полной вероятности

- случайная величина (знать разницу между непрерывными и дискретными)

- F(x), f(x) + их свойства.

- моменты (начальные и центральные, мат. ожидание и дисперсия, помните, что сами по себе мат. ожидание и дисперсия – это обычные числа, не случайные величины, а вот если вы делаете их оценки, то вот эти оценки уже случайные величины)

- основные законы для непрерывных случайных величин (формулы для - F(x), f(x).

1. 
   Классический способ расчета вероятности.
   

1.6 (В). В урне a белых и b черных шаров, вытащили 1 шар, найти вероятность того, что он белый.

1.7 (В). В урне a белых и b черных шаров, вытащили 1 шар (белый) и отложили в сторону, затем вытащили еще 1 шар, найти вероятность того, что он белый.

1.11 (В). В урне a (≥2)белых и b черных шаров, вытащили 2 шара, найти вероятность того, что они оба белые.

1.12 (В). В урне a (≥2)белых и b (≥3) черных шаров, вытащили 5 шаров, найти вероятность того, что из них 2 белых и 3 черных.

2.1. В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что купленный телевизор не имеет скрытых дефектов.

2.3. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается одна. Найти вероятности событий: A = {карта имеет масть "пик"}, B = {карта имеет черную масть}, C= {вытащен туз}, D = {вытащен туз "пик"}.

16 (Гм). Набирая номер, абонент забыл последние 3 цифры, но помнит, что они разные. Найти вероятность, что номер телефона будет набран верно с первой попытки.

1.15 (В). В партии k изделий, из которых l дефектных, контроль отбирает r изделий, найти вероятность того, что из них ровно s дефектных.

1.11 (Гм). В ящике пронумерованных 10 деталей, вынимают 6 деталей, найти вероятность того, что

1. 
   среди выбранных деталей есть деталь №1,
   
2. 
   среди выбранных деталей есть детали с № 1 и №2.
   

2.2. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: A= {число очков на верхней грани равно 6}, B = {число очков кратно 3}, C = {число очков меньше 5}.

2.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Кубики перемешиваются, а затем наугад вытаскивается один из них. Найти вероятности событий: A = {кубик имеет три окрашенные грани}, B = {кубик имеет две окрашенные грани}, C ={кубик имеет одну окрашенную грань}.

2.5. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи: белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не бьют друг друга?

2.6. На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9. Определить вероятность того, что число, составленное из двух наугад взятых карточек, делится на 18.

2.7. На 8 карточках написаны числа: 2,4,6,7,8,11,12,13. Из двух наугад взятых карточек составлена дробь. Какова вероятность того, что она сократима?

2.8. Одновременно подбрасывается две кости. Найти вероятности событий: A= {количество очков на верхних гранях одинаково}, B= {на верхних гранях выпадет в сумме 8 очков}, C = {сумма очков четна}, D = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}.

2.9. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Некто забыл номер телефона, но помнит, что он состоит из нечетных цифр. Какова вероятность того, что номер будет угадан с первой попытки?

1.10. (В). В урне a белых и b черных шаров. Шары достают по одному по порядку. Найти вероятность, что второй вынутый шар будет белым.

2.2. (Гм). У секретного замка 4 диска, на каждом диске 5 секторов. Найти вероятность того, что при произвольной установке будет набран правильный код.

1.20 (В). В соревнованиях по баскетболу участвуют 18 команд, из которых 5 экстра-класса, формируются 2 группы по 9 команд. Найти вероятность того, что все команды экстра-класса попадут в одну группу

1.44. (В). M шариков забивают в N лунок (N>M), каждый шарик попадает с одинаковой

13 (Гм). Среди 100 фото есть одна разыскиваемая фотография, выбирают 10 наугад, найти вероятность того, что среди них будет разыскиваемая.

1.32 (В). N человек рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что 2 определенных человека сядут рядом.

2.17. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются две карты. Найти вероятности событий: A = {извлечены карты разного цвета}, B = {извлечены карты одной масти}, C= {извлечен ровно один туз}, D = {среди извлеченных карт есть хотя бы один туз}.

2. 
   Сложные события
   

1. 
   Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.
   
2. 
   Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
   
3. 
   Брошены два игральных кубика. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.
   
4. 
   Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится “герб”.
   
5. 
   В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
   
6. 
   Найти вероятность того, что при бросании трех игральных кубиков шестерка выпадает на одном (безразлично каком) кубике, если на гранях двух других кубиков выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
   
7. 
   В коробке имеется десять шаров: три белых и семь черных. Из коробки наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый; б) черный?
   
8. 
   Из слова НАУГАД выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?
   
9. 
   Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут ровно два герба?
   
10. 
    Бросают игральный кубик. Какова вероятность выпадения номера “4” на верхней грани упавшего на стол кубика? Какова вероятность выпадения номера большего четырех ?
    
11. 
    Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее девяти очков? Какова вероятность выпадения единицы хотя бы на одной из костей?
    
12. 
    На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут “бить” друг друга?
    
13. 
    Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три карточки и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА?
    
14. 
    В коробке три белых и семь черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?
    
15. 
    Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
    
16. 
    При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
    
17. 
    В лотерее R билетов, из которых T выигрышных. Участник лотереи покупает K билетов. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы на один билет.
    
18. 
    Найти вероятность того, что дни рождения двенадцати человек придутся на разные месяцы года.
    
19. 
    В партии из N деталей имеется S стандартных. Наудачу отобраны L деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно K стандартных.
    
20. 
    В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
    
21. 
    В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
    
22. 
    В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
    
23. 
    В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
    
24. 
    В ящике 100 деталей, из них 10 окрашенных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет окрашенных; б) нет неокрашенных.
    
25. 
    Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет):
    

а) опыт – бросание монеты; события:

A₁ = {герб}; A ₂={цифра};

б) опыт – бросание двух монет; события:

B₁={два герба}; B₂ = {две цифры }; B₃ ={один герб и одна цифра};

в) опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; события:

С1={черви}; С2={бубны}; С3={трефы}; С4={пики};

г) опыт – бросание игрального кубика; события:

D ={не менее 3-х очков}; D2={не более 3-х очков}.

26. 
    В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают наугад 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.
    
27. 
    В ящике a и b черных шаров. Из ящика вынимают 1 шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из ящика берут еще 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
    
28. 
    В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают один шар и, не глядя, откладывают в сторону. После этого из ящика взяли еще 1 шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, тоже белый.
    
29. 
    Из ящика, содержащего a белых и b черных шаров, вынимают подряд все находящиеся в нем шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний, оставшийся в ящике шар, будет белым.
    
30. 
    Из ящика, содержащего a белых и b черных шаров, вынимают подряд все находящиеся в нем шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
    
31. 
    В ящике a белых и b черных шаров (a  2). Из ящика вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
    
32. 
    В ящике a белых и b черных шаров (a  2, b  3). Из ящика вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три черными.
    
33. 
    В ящике a белых и b черных шаров (a  2, b  2). Из ящика одновременно вынимают два шара. Какое событие более вероятно: А = {шары одного цвета}; В={шары разных цветов}.
    
34. 
    Из ящика, содержащего n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в нем шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1,2,…, n.
    
35. 
    Тот же ящик, что и в задаче 35, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,2,…,n .
    
36. 
    Некто купил карточку Спортлото и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров, после чего в тираже разыгрываются 6 “выигрышных” номеров из 49. Найти вероятности следующих событий:
    

А ₁={верно угаданы 3 выигрышных номера из 6};

А ₂={верно угаданы 4 выигрышных номера из 6};

А ₃={верно угаданы 5 выигрышных номера из6};

А₄={верно угаданы все 6 номеров}.

37. 
    На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.п. Найти вероятность того, что число будет четным.
    
38. 
    В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11.
    
39. 
    Бросают два кубика. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; B – событие, заключающееся в том, что хотя бы на одном из кубиков выпала единица. Описать события AB, AB, A , ĀB , и найти их вероятности.
    
40. 
    В кармане имеется несколько монет достоинством в 2 коп. и 10 коп. (на ощупь неразличимых). Известно, что двухкопеечных монет втрое больше, чем десятикопеечных. Наугад вынимается одна монета. Какова вероятность того, что она будет десятикопеечная.
    
41. 
    Бросают n кубиков. Найти вероятность получить сумму очков равную n , n +1.
    
42. 
    Два игрока по очереди бросают кубик, каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.
    
43. 
    Два игрока бросают монету по 2 раза каждый. Выигравшим считается тот, кто получит больше гербов. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
    

3. 
   Формула Байеса и формула полной вероятности
   

1. В цехе 14 установок с автоматическим контролем и 6 с ручным. Вероятность изготовления некондиционной продукции для установок с автоматическим контролем составляет 0,001, с ручным контролем - 0,002. Какова вероятность того, что взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась кондиционной?

2. На конвейер поступают детали с двух станков с ЧПУ. Производительность первого станка в 2 раза больше производительности второго. Вероятность брака на первом станке 0,01, на втором станке 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна.

3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго -10%, третьего 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров первого завода, 20 второго, 50 третьего.

4. В бригаде 8 рабочих и 2 ученика. Вероятность изготовить бракованное изделие для рабочего составляет 0,05, для ученика 0,2. Производительность рабочего в два раза выше, чем у ученика. Какова вероятность, что некоторое изделие, изготовленное бригадой, окажется бракованным?

5. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым, третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6.

6. В студенческой группе 3 отличника, 5 хорошо успевающих, 12 слабо успевающих студента. Отличник с равной вероятностью может получить на экзамене 5 или 4; хорошо успевающий студент - с равной вероятностью 5 или 4, или 3; слабо успевающий - с равной вероятностью 3 или 2. Cтудент получил на экзамене оценку 4.Какова вероятность, что он хорошо учился в семестре?

7. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность первого узла равна 0,9, второго - 0,8. За время испытания прибора зарегистрирован его отказ. Найти вероятности следующих событий: а) отказал только первый узел; б) отказали оба узла.

4. 
   Случайные величины
   

1. 
   Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в мишень при одном залпе) составить ряд распределения, построить полигон распределения (график плотности распределения вероятности), математическое ожидание.
   

2. 
   Случайная величина Х задана функцией распределения
   

Найти вероятности того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 3; б) не меньше 3; в) из промежутка [0; 2, 6); г) из промежутка [3; 5).

3. 
   Случайная величина Х задана плотностью распределения f (x) = ax² + 4,5x − 6 при x∈[2;4]; f (x) = 0 при x∉[2;4]. Найти параметр a, математическое ожидание.
   

4. 
   Случайная величина Х задана функцией распределения
   

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

5. 
   Случайная величина Х задана на всей числовой оси функцией распределения F(x)= 0,5+ 1/π*(arctg x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) заключенное в промежутке [0; 1); б) заключенное в промежутке [-1; 3).
   

6. 
   Случайная величина Х задана функцией распределения:
   

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) из промежутка [-1; 1); б) из промежутка [0; 5); в) из промежутка [-3; 1).

7. 
   Задана плотность распределения непрерывной случайной величины:
   

Найти функцию распределения F(x).

8. 
   Задана плотность распределения непрерывной случайной величины:
   

Найти функцию распределения F(x).

9. 
   Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана формулой
   

Найти параметр С. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (-1; 1).

10. 
    Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
    

Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина Х примет ровно два раза значение из интервала (0; π/4).

11. 
    Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: x₁ = 4 с вероятностью 0,5, x₂ = 6 с вероятностью 0,3 и x₃ с вероятностью p₃ . Зная, что m_X = 8, найти x₃, p₃.
    

12. 
    Найти моду и математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
    

13. 
    Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной рядом распределения:
    

а)



б)



в)

14. 
    Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f (x) = a*x*cosx при x принадлежит [0;π/2]; f (x) = 0 при x [0;π / 2]. Найти параметр a и математическое ожидание.
    

15. 
    Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения
    

f (x) = 0,04exp(−0,04x) при x ≥ 0; f (x) = 0 при x < 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1; 2).

16. 
    Время исполнения заказа на ремонт радиоаппаратуры имеет показательный закон распределения со средним временем исполнения в 5 суток. Какова вероятность того, что сданный Вами в мастерскую магнитофон починят не ранее чем через 4 суток?
    

Ответ: 0,449

17. 
    Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t) =1− exp(−0,01t), t > 0 − время в часах. Найти вероятность того, что за время длительностью 50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
    

Ответ:

18. 
    Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F1(t) =1− exp(−0,02t), второго F2 (t) =1− exp(−0,05t), t − время в часах. Найти вероятность того, что за 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.
    

Ответ:

19. 
    Время ожидания в очереди имеет показательный закон распределения со средним временем ожидания 20 мин. Какова вероятность того, что покупатель потратит на покупку не менее 10 и не более 15 мин?
    

Ответ: 0,134

20. 
    Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервал (12, 14).
    

Ответ: 0,136

Далее 3 задачи на систему из 2-х случайных величин (может пригодится перед экзаменом, перед задачами теория и 3 примера).

21. 
    Задана функция совместного распределения системы случайных величин: F(x, y) = (1− e^−4x ) (1− e^{−2 y} ) при x ≥ 0, y ≥ 0; F(x, y) = 0 в остальных случаях. Найти плотность совместного распределения системы.
    

Ответ:

22. 
    Задана плотность совместного распределения системы случайных величин
    

Найти F(x, y).

Ответ:

23. 
    Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин:
    

Найти постоянную С.

Ответ:







9.1. Для равномерно распределенной на [a; b] случайной величины Х найти функцию распределения.

9.2. Автобусы маршрута № 5 идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

9.3. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

9.4. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая по модулю 0,02А.

9.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана абсолютная ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

9.6. Из банки, содержащей 2 л воды, отлили произвольное ее количество. Какова вероятность того, что в банке останется не более 0,5 л воды?

9.7. Написать плотность распределения нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М[Х] = 3, D[X] = 16.

9.8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 5, дисперсия равна 4. Записать ее плотность распределения и функцию распределения. Определить квантили порядков 0,7 и 0,99.

9.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервал (12, 14).

9.10. Процент содержания золы в угле является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 16% и средним квадратическим отклонением 4%. Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24% золы.

9.11. Производится измерение диаметра вала двигателя без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 10 мкм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мкм.

9.12. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м, сбросил бомбу. Случайная величина Х (расстояние от центра моста до места падения бомбы) распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным 6 м. Найти вероятность попадания бомбы в мост. Считается, что мост имеет ширину, достаточную для попадания в него бомбы.

9.13. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35; 40).

9.14. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 10 и средним квадратическим отклонением 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате эксперимента величина Х.

9.15. Станок-автомат изготовляет шарики для подшипников, причем контролируется их диаметр Х. Считая Х нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных шариков.

9.16. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 9. Найти вероятности того, что в результате трех испытаний: а) Х трижды попадет в интервал (9; 12); б) Х дважды попадет в интервал (7; 19).

9.17. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид f (x) =γ exp(−x2 + 2x − 3). Установить тип распределения, найти параметр γ, математическое ожидание и дисперсию, вероятность выполнения неравенства: -1/3 < X < 4/3.

9.18. Найти плотность и функцию распределения показательного распределения, если его математическое ожидание равно 0,2. Для данного распределения найти квантили порядка 0,7 и 0,85.

9.19. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения f (x) = 0,04exp(−0,04x) при x ≥ 0; f (x) = 0 при x < 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1; 2).

9.20. Время ожидания в очереди имеет показательный закон распределения со средним временем ожидания 20 мин. Какова вероятность того, что покупатель потратит на покупку не менее 10 и не более 15 мин?

9.21. Время исполнения заказа на ремонт радиоаппаратуры имеет показательный закон распределения со средним временем исполнения в 5 суток. Какова вероятность того, что сданный Вами в мастерскую магнитофон починят не ранее чем через 4 суток?

9.22. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t) =1− exp(−0,01t), t > 0 − время в часах. Найти вероятность того, что за время длительностью 50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

9.23. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F1(t) =1− exp(−0,02t), второго F2 (t) =1− exp(−0,05t), t − время в часах. Найти вероятность того, что за 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.