Задание 3 Центральное растяжение и сжатие прямых стержней переменного сечения
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Задание 3 Центральное растяжение и сжатие прямых стержней переменного сечения Для стального ступенчатого стержня, рисунок 3.1 находящегося под действием сил  , приложенных в осевом направлении, требуется: 1) построить эпюры нормальных сил  , нормальных напряжений  ; 2) построить эпюру осевых перемещений  ; 3) определить его полное удлинение (укорочение)  Дано:  ;  ;  ;  ;  .Решение. 1. Разбиваем стержень на участки. Под участком понимается часть длины стержня, в пределах которой поперечное сечение и нагрузки не изменяются. В данной задаче таких участков будет три: участок  ,  и  . Для нахождения продольных сил  , действующих на каждом участке, воспользуемся методом сечений. Рисунок 3.1. 2. Определяем продольные силы в стержне. По правилу знаков продольная сила считается положительной (соответствует растяжению), если она направлена от рассматриваемого поперечного сечения, и отрицательной (соответствует сжатию), если она направлена к сечению. Рассечём стержень на участке сечением 1-1 на две части и мысленно отбросим левую часть. На оставшуюся часть действует одна сила  , а действие отброшенной части заменим неизвестной продольной силой  . Если после решения уравнения равновесия сила получится со знаком «минус», то направление продольной силы нужно сменить на противоположное – стержень на данном участке испытывает деформацию сжатия.Условие равновесия для оставшейся части стержня:  Аналогично определяем продольные силы на других участках. Для участка  Для участка : Для построения эпюры продольных сил проведём прямую линию, параллельную оси стержня, и перпендикулярно к ней отложим отрезки, отображающие в некотором масштабе величины продольных сил, возникающих в соответствующих поперечных сечениях стержня. Эпюра продольных сил показана на рис.3.2,а. 3. Определяем нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня. Участок : Участок : Участок : Эпюра нормальных напряжений представлена на рис.3.2,б. Строится она аналогично эпюре продольных сил. 4. Определяем удлинение (укорочение) каждого участка стержня согласно закону Гука и перемещение свободного конца стержня. Участок : Участок : Участок : Эпюра перемещений поперечных сечений стержня представлена на рис.3.2,в.  Рисунок 3.2. Перемещение сечения в заделке равно нулю. Перемещение сечения  равно удлинению участка , т.е.  . Перемещение сечения  равно алгебраической сумме перемещения сечения и удлинению участка , т.е.  . Перемещение свободного конца стержня (сечения  ) будет равно сумме перемещения сечения и удлинению участка , т.е.  .Задание 4 Расчет на кручение круглых стержней. Для стального вала, рисунок 4.а, один конец которого условно принят защемленным, при выбранных исходных данных требуется: 1) найти через известные мощности  соответствующие скручивающие моменты  ; 2) найти неизвестный момент  из условия равенства нулю угла поворота свободного конца вала; 3) построить эпюру крутящих моментов  ; 4) подобрать круглое и кольцевое (при заданном  ) сечения из условий прочности; 5) построить эпюры углов поворота  по длине вала круглого сечения;Дано:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  .Решение. 1. Определяем значения моментов  :   2.Определение величины неизвестного крутящего момента .Брус жестко заделан левым концом A, правый конец E свободный. В сечениях B, C, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.Угол поворота сечения Е относительно сечения A определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:    Рисунок 4. Вычисляем крутящие моменты, начиная с незакрепленного конца:     Используя выражения (2) и сокращая на  , приводим уравнение (1) к виду: Подставляя значения a, b, c и решая это уравнение, получаем  3. Построение эпюры крутящих моментов. Найденное значение  подставляем в выражения (2), вычисляя таким образом величину крутящего момента на каждом участке:  По найденным значениям  строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ED, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены. Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рис. 4.б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка BC; расчетное значение крутящего момента  4. Подбор диаметра поперечного сечения бруса. Используем условие прочности:  Учитывая, что для круглого сечения  выразим диаметр из условия прочности  Подставляя и , вычисляем диаметр поперечного сечения, округляя его до стандартной величины: Сечение в форме толстостенного кольца с наружным D и внутренним  диаметрами. Подставив в (1) зависимость  для толстостенного кольца, получим: Откуда  5. Построение эпюры углов закручивания. Определим предварительно величину полярного момента инерции бруса:  Вычисляем углы закручивания по участкам, принимая модуль сдвига для стали  :    Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с закрепленного конца A:      По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания (рис. 4.в). Равенство  является проверкой решения, так как неизвестный крутящий момент определялся из условия равенства нулю угла поворота свободного конца бруса.Задание 5 Плоский изгиб балочных систем. Для заданной балки требуется: 1) построить эпюры поперечных сил  , изгибающих моментов  ; 2) подобрать круглое сечение, материал балки – дерево  ;Дано:  ;  ;  ;  ;  ;  .Решение. 1. Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными вертикальными реакциями  и  . Балка находится в равновесии. Составим уравнения равновесия:   Из этого уравнения находим значение  : Далее  Из этого уравнения определяем  : Произведём проверку найденных значений реакций. Составим уравнение проекций всех сил на ось у  Равенство верное. Следовательно, реакции определены правильно.  2. Определим значение поперечной силы Q в сечении на участке AC, рассматривая левую часть балки. Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на рассматриваемую часть балки.  Это уравнение наклонной прямой. Чтобы ее построить, определим две точки на концах участка:   Откладываем наклонную прямую по этим точкам. Дальнейшее решение будем выполнять справа. Определим Qмежду Bи D:  Так как  , то на эпюре  изображается горизонтальной прямой.Определим Qмежду Cи D:  Это уравнение наклонной прямой. Чтобы ее построить, определим две точки на концах участка:   Откладываем наклонную прямую по этим точкам. Определим изгибающий момент на первом участке. Изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме всех внешних моментов, вычисленных относительно сечения и приложенных к рассматриваемой части балки:  Это уравнение параболы, так как z во второй степени. Для построения параболы необходимо определить 2 точки по краям участка. Парабола строится дугой навстречу распределенной нагрузке. При   На втором участке:  Это уравнение наклонной прямой. При  ; На третьем участке  Это уравнение параболы.   По эпюре  находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения:  Тогда  Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления:  Диаметр круга  |