Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции (примеры решения задач) Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядов Пример 1
![]()
|
1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции (примеры решения задач) Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядовПример 1.1В однородном электрическом поле напряженностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решениe. Напряженность результирующего поля согласно принципу суперпозиции равна ![]() где ![]()
. По теореме косинусов ![]() Учитывая, что по условию задачи ![]() ![]() ![]() Пример 1.2Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Так как в начале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку и по закону Кулона ![]() После того, как шарики были приведены в соприкосновение, заряды перераспределяются, и на каждом из шариков заряд, согласно закону сохранения заряда, становится равным ![]() ![]() Уравнения (1) и (2), дают систему уравнений для неизвестных ![]() ![]() ![]() ![]() решив которую, находим искомые заряды ![]() ![]() Заметим, что в соответствии с симметрией задачи возможны и такие значения зарядов: ![]() ![]() Пример 1.3В вершинах квадрата, со стороной а, помещены четыре заряда ![]() Найдите напряженность электрического поля на перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию его длины x. Решение. Из принципа суперпозиции полей, результирующее поле, создаваемое зарядами, равно:
![]() ![]() ![]() Задача сводится к суммированию четырех равных по величине, но разных по направлению векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично, складывая поля 2-го и 4-го зарядов найдем ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1.4На рисунке изображена одна из линий напряженности электрического поля двух неподвижных точечных зарядов ![]() ![]() ![]() ![]()
Решение. Введем систему координат, выбрав ее, как показано на рисунке, т.е. ось x проходит через заряды, а ось y проходит через «вершину» линии поля. Так как вектор поля направлен по касательной к линии поля, то в точке «вершины» Еy = 0. По принципу суперпозиции для поля в этой точке имеем: ![]() ![]() ![]() После подстановки и преобразований, найдем, взяв значения геометрических параметров из рисунка в условии задачи a1 =2, a2 = 8, b = 4: ![]() Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов) Пример 1.5На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги окружности радиуса R с центром в точке О, приходится заряд ![]() ![]() Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги АВ (рис.). Разобьем стержень на элементарные участки длины dl с зарядом ![]()
Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка стержня в точке 0: ![]() где ![]() ![]() ![]() Приведем правую часть последнего уравнения к одной переменной интегрирования – углу ![]() ![]() ![]() Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля, создаваемого частью дуги окружности в ее центре ![]() а) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окружности радиуса R в ее центре: ![]() ![]() ![]() б) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом радиуса R в его центре: ![]() ![]() ![]() в) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким кольцом радиуса R в его центре: ![]() ![]() ![]() г) Модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиуса R, если половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями заряда ![]() ![]() Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок равна: ![]() ![]() С ![]() ![]() Из рисунка видно, что направления векторов ![]() ![]() ![]() Пример 1.6Найти модуль и направление напряженности поля в центре кольца радиуса а, по которому однородно распределен заряд q>0, а в кольце сделана прорезь шириной b << a. Решение. Рассмотрим кольцо без прорези. Тогда в силу симметрии в центре кольца поле равно нулю. С другой стороны это поле является суперпозицией поля кольца с прорезью ![]() ![]() ![]() ![]()
Поле ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1.7Тонкое проволочное кольцо радиуса ![]() ![]() ![]() Решение. Выберем на кольце элементарную дугу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
В равновесии величина силы ![]() ![]() Из подобия треугольников (см. рисунок) имеем: ![]() где ![]() Выражая ![]() ![]() Пример 1.8Кольцо радиуса ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Разобьем заряд кольца на бесконечно малые элементы с зарядами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси ![]() ![]() ![]()
Учитывая, что ![]() ![]() Суммируя вклады всех элементов кольца, найдем для проекции результирующего поля: ![]() Рассмотрим напряженность поля на больших расстояниях ![]() ![]() т.е. на больших расстояниях система ведет себя как точечный заряд. График ![]() ![]() Точки, в которых напряженность поля принимает максимальные значения, имеют координаты ![]() Пример 1.9Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Выделим на стержне элементарный заряд ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() Применяя принцип суперпозиции для нахождения напряженности поля, создаваемого стержнем в искомой точке, получим: ![]() График напряженности поля, создаваемого заряженным стержнем на его оси представлен на рисунке.
При ![]() ![]() Пример 1.10Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Разобьем заряженный стержень на бесконечно малые элементы ![]() ![]()
Каждый заряд ![]() ![]() ![]() ![]() Все вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1.11Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса ![]() ![]() ![]() Решение. Разобьем нить на элементарные участки длины dl с зарядом ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Подставим в выражение для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Учитывая, что ![]() ![]() Пример 1.12Полубесконечный круглый цилиндр радиуса ![]() ![]() Найдите напряженность электрического поля в центре основания цилиндра. Решение. Представим, что цилиндр состоит из набора круглых тонких колец ширины ![]() ![]() Воспользуемся формулой для напряженности поля на оси равномерно заряженного кольца (пример1.7): ![]() где ![]() ![]()
Все напряженности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1.13Круглая тонкая пластинка радиуса ![]() ![]() Найдите модуль напряженности электрического поля на оси пластинки, как функцию расстояния ![]() ![]() ![]() Решение. Представим круглую пластинку в виде набора узких концентрических колец радиуса ![]() ![]()
Заряд одного такого элементарного кольца ![]() ![]() где ![]() Используя формулу для напряженности поля на оси кольца из примера 1.7., запишем напряженность поля в произвольной точке ![]() ![]() ![]() Векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построим график зависимости ![]() ![]() Рассмотрим предельные случаи: 1) при ![]() 2) при ![]() ![]() ![]() то есть на больших расстояниях поле круглой пластинки соответствует полю точечного заряда, помещенного в ее центр. П ![]() Найти напряженность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Вклад в напряженность поля от элемента отрезка dx равен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полученные формулы включают в себя все результаты расчета полей однородно заряженных отрезков. Приведем наиболее часто используемые: Поле на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка: ![]() ![]() ![]()
Поле бесконечного отрезка: ![]() ![]() ![]() ![]()
Поле полубесконечного отрезка в точках плоскости перпендикулярной отрезку и проходящей через его торец: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Пример 1.15 ![]() ![]() Решение. Нить, показанная на рисунке, имеет три участка - два прямолинейных полубесконечных (на рисунке участки 1 и 3) и один закругленный (на рисунке участок 2). Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции полей, создаваемых каждым из трех участков нити в точке 0. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой 0, а оси x и у совпадали с полубесконечными участками 1 и 3 (рис.).
Напряженность поля полубесконечной нити в точке ![]() ![]() а направления показаны на рисунке. Согласно результату примеру 1.4, напряженность поля полукольца (участок 2) в точке 0 будет направлена вдоль оси у иравна ![]() Согласно результату задачи 1.13, результирующая напряженность поля полубесконечной нити в точке 0, лежащей на оси нити (участок 3) будет направлена вдоль оси xиравна ![]() Сложив попарно проекции векторов, направленные вдоль осей xи у: ![]() ![]() Найдем величину напряженности в точке 0: ![]() то есть модуль вектора напряженности электрического поля в точке 0 равен ![]() |