1 практика. 1 практика (1). Закономерности в случайных явлениях. Введем основные понятия. Опыт (испытание) это осуществление определенного комплекса

• Название: Закономерности в случайных явлениях. Введем основные понятия. Опыт (испытание) это осуществление определенного комплекса
• Анкор: 1 практика
• Дата: 10.11.2021
• Размер: 247.01 Kb.
• Имя файла: 1 практика (1).pptx
• Тип: Закон; #267908

Решение задач по теории вероятности.

Случайные события

1. Определение вероятности

1.1. Основные понятия

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая

закономерности в случайных явлениях.

Введем основные понятия.

Опыт (испытание) – это осуществление определенного комплекса

условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.

Событие – возможный результат опыта.

Например, подбрасывание монеты – это опыт, а появление «герба» или «цифры» на верхней стороне после падения – это событие.

Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в данном опыте.

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в данном опыте.

Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном опыте.

Основные понятия теории вероятности.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов.

Вероятность события

Вероятность события

Если n - число всех исходов некоторого испытания,

т - число благоприятствующих событию A исходов,

вероятность события A равна

P(A) =

Пример 1

Пример 1

Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.

Решение:

У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно n=6.

Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно m=1.

Тогда P(A)=1:6

Ответ: 1/6

Пример2

• В урне находятся 10 шаров белого цвета и 5 шаров красного цвета. Пусть событие А1 состоит в извлечении из урны белого шара , а событие А2 – в извлечении красного шара.
• Тогда

Р(А1) = 10/(10 + 5) = 2/3,

Р(А2) = 5/(10 + 5) = 1/3.

Решение. 

Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементар­ных исходов, из которых событию А благоприятствуют

6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, P(A)=0,2

Пример 4 . Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Пример 5

• Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.
• Решение. В этом испытании всего 62 = 36 равновозможных элементарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: 
• (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому P(B)=4/36=19

Размещения

Размещения

Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга либо самими элементами (состав), либо порядком их расположения.

Обозначение:

• =

m - общее количество элементов;

n - количество отбираемых элементов.

Пример

Пример

В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать 2 человека для конкурса.

Решение:

Общее количество элементов m = 20,

количество отбираемых элементов n = 2.

Порядок не важен.

Используя формулу получим число выборов:

= = 18!  19  20:18!=380

Ответ: 380

Сочетания

Сочетания

Сочетаниями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Обозначение:

=

m - общее количество элементов,

n - количество отбираемых элементов

Пример

Пример

Имеется стопка из 25 книг. Сколькими способами можно выбрать

3 книги.

Решение:

Общее количество элементов m = 25,

количество отбираемых элементов n = 3.

Порядок не важен, выборки отличаются только составом книг.

Используя формулу получим число выборок:

= 2300

Ответ: 2300

Первый тип задач

К первому типу задач отнесем задачу нахождения вероятности наступления того или иного события из общего числа исходов.

Пусть

n – общее число исходов(испытаний);

m – число благоприятных исходов.

Тогда вероятность наступления того или иного события вычисляется по формуле:

P(A) = m : n

Пример

Пример

В среднем из 1000 упаковок натурального сока, поступивших в продажу, 5 испорченных. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля упаковка сока не испорчена.

Решение:

n = 1000; m = 1000-5=995

P(A) = 995:1000 = 0,995

Ответ: 0,995

Ответ:0,36

Ответ:0,2

Шесть пронумерованных игроков подбрасыванием кубика разыгрывают приз. Приз достанется тому, чей номер совпадет с числом выпавших очков. Какова вероятность, что приз достанется игроку с номером 6?

Ответ: 1:6

В фирме такси в данный момент свободно  15  машин: 4 красных, 9 желтых и 2 белых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчику. Какова вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Ответ:0,6