математика. МАТЕМ. Занятие 3 Обучающийся Шаршембай уулу Чынгыз
![]()
|
46.02.01 Документационное обеспечение управления и архивоведение Дисциплина: Математика Практическое занятие 3 Выполнил: Обучающийся Шаршембай уулу Чынгыз Преподаватель: Сазонова Элеонора Борисовна Вычислите пределы функции, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты): a) ![]() ![]() ![]() b) ![]() ![]() Для выражения ![]() сопряженным является ![]() Умножим его на числитель и знаменатель. ![]() Учитывая, что (a-b)(a+b) = a2-b2, получаем: ![]() Ответ: 0 Задание 2. (Максимальное количество баллов – 2 балла) Вычислите производные функций, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь при решении, записывайте промежуточные результаты): a) ![]() ![]() Решение: ![]() Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n∙xn-1 ![]() (x)' = 1 Здесь: (-7∙x3)' = -7∙3∙x3-1(x)' = -21∙x2 (x)' = 1 ![]() ![]() (sin(x))' = cos(x) Ответ: ![]() При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0 ![]() b) ![]() Решение: ![]() Здесь: ![]() (3∙x)' = 3 Ответ: ![]() При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0 (uv)' = u'v + uv' (f(g(x)))' = f(x)'∙g(x)' Задание 3. (Максимальное количество баллов - 4 балла) Вам предложена функция ![]() 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения с осями. 3. Исследовать функцию на четность/нечетность. 4. Найти асимптоты. 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7. Найти дополнительные точки, уточняющие график. 8. Построить график. 1) Область определения функции. Точки разрыва функции. D(y)=R, но х≠±2 2) Четность или нечетность функции. ![]() y(-x) = -y(x), нечетная функция 3) Периодичность функции. 4) Точки пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью 0Y x=0, y=0 Пересечение с осью 0X y=0 ![]() x1=0 5) Исследование на экстремум. y = x^3/(x^2-4) Найдем точки разрыва функции. x1 = 2 x2 = -2 Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. ![]() или ![]() Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x2∙(x2-12) = 0 Откуда: x1 = 0 ![]() ![]()
В окрестности точки x = -2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2∙sqrt(3) - точка максимума. В окрестности точки x = 2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2∙sqrt(3) - точка минимума. 2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. ![]() или ![]() Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. ![]() Откуда точки перегиба: x1 = 0
6) Асимптоты кривой. ![]() Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x1 = -2 x2 = 2 Находим переделы в точке x=-2 ![]() ![]() x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Находим переделы в точке x=2 ![]() ![]() x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. ![]() Найдем наклонную асимптоту при x → -∞: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Вычислите пределы функции, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты): a) ![]() ![]() ![]() b) ![]() ![]() Для выражения ![]() сопряженным является ![]() Умножим его на числитель и знаменатель. ![]() Учитывая, что (a-b)(a+b) = a2-b2, получаем: ![]() Ответ: 0 Задание 2. (Максимальное количество баллов – 2 балла) Вычислите производные функций, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь при решении, записывайте промежуточные результаты): a) ![]() ![]() Решение: ![]() Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n∙xn-1 ![]() (x)' = 1 Здесь: (-7∙x3)' = -7∙3∙x3-1(x)' = -21∙x2 (x)' = 1 ![]() ![]() (sin(x))' = cos(x) Ответ: ![]() При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0 ![]() b) ![]() Решение: ![]() Здесь: ![]() (3∙x)' = 3 Ответ: ![]() При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0 (uv)' = u'v + uv' (f(g(x)))' = f(x)'∙g(x)' Задание 3. (Максимальное количество баллов - 4 балла) Вам предложена функция ![]() 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения с осями. 3. Исследовать функцию на четность/нечетность. 4. Найти асимптоты. 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7. Найти дополнительные точки, уточняющие график. 8. Построить график. 1) Область определения функции. Точки разрыва функции. D(y)=R, но х≠±2 2) Четность или нечетность функции. ![]() y(-x) = -y(x), нечетная функция 3) Периодичность функции. 4) Точки пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью 0Y x=0, y=0 Пересечение с осью 0X y=0 ![]() x1=0 5) Исследование на экстремум. y = x^3/(x^2-4) Найдем точки разрыва функции. x1 = 2 x2 = -2 Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. ![]() или ![]() Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x2∙(x2-12) = 0 Откуда: x1 = 0 ![]() ![]()
В окрестности точки x = -2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2∙sqrt(3) - точка максимума. В окрестности точки x = 2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2∙sqrt(3) - точка минимума. 2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. ![]() или ![]() Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. ![]() Откуда точки перегиба: x1 = 0
6) Асимптоты кривой. ![]() Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x1 = -2 x2 = 2 Находим переделы в точке x=-2 ![]() ![]() x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Находим переделы в точке x=2 ![]() ![]() x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. ![]() Найдем наклонную асимптоту при x → -∞: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x |