Практическое занятие №6. Устойчивость систем. Критерий Найквиста. Занятие 6 устойчивость систем. Частотные критерии устойчивости. Критерий найквиста

Название	Занятие 6 устойчивость систем. Частотные критерии устойчивости. Критерий найквиста
Дата	19.06.2022
Размер	333.17 Kb.
Формат файла
Имя файла	Практическое занятие №6. Устойчивость систем. Критерий Найквиста.pdf
Тип	Занятие #602744

Практическое занятие № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ.
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.
КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА.
1. Цели и задачи работы
В результате студент должен освоить методы определения устойчивости систем автоматического управления.
Для формирования умений студент должен уметь:
− строить графики, соблюдая требования к выбору масштаба, к обо- значениям, к вычерчиванию кривых;
− вычислять определители.
2. Рекомендации при подготовке к практическому занятию
2.1. Вопросы, которые необходимо изучить при подготовке к практиче- скому занятию:
− годограф,
− устойчивая САУ,
− неустойчивая САУ,
− характеристическое уравнение,
− квадрант.
2.2. Литература, которую необходимо изучить при подготовке к практиче- скому занятию:
1. Гильфанов К.Х. Теория автоматического управления: Учеб. пособие. /
Гильфанов К.Х., Подымов В.Н. − Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2009. – 176 с.
Глава 5. Стр. 107-116.
2. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования.
Учебное пособие / Бесекерский В.А., Попов Е.П. – 4-е изд., перераб. и доп. –
СПб, Изд-во «Профессия», 2008. – 752 с.
Глава 6. §6.4. Стр. 131-143.
2.3. Ссылка на лекции:
Лекция 12. Понятие об устойчивости. Частотные критерии устойчивости.
Критерий Найквиста.

3. Краткие сведения из теории
Критерий Найквиста.
Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости за- мкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (ампли- тудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.
КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:
)
(
)
(
)
(



jV
U
j
W


. (2.9)
Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости по- лучают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки -1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой систе- мы.
Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.
1. Разомкнутая система устойчива. Тогда, если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении

от 0 до ∞ не охватывает точку -1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – за- мкнутая система неустойчивая.
Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.14 и 5.15 .
V
V
-1
-1
Рис. 5.14
Рис. 5.15 2. Разомкнутая система неустойчива. Тогда, если годограф неустойчи- вой разомкнутой системы при изменении

от 0 до ∞ охватывает точку
-1 на оси абсцисс в положительном направлении m / 2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положитель- ной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.
U
U

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.16 и 5.17 для m = 2 .
V V
-1
-1
Рис. 5.16
Рис. 5.17 3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка -1 на оси абс- цисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.18 и 5.19.
V V
-1 -1
Рис. 5.18 Рис. 5.19
Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку -1 оси абсцисс. Ана- литически это условие можно записать в виде
1 + W(j

) = 0 .
U
U
U
U

Пример 1.
Дана передаточная функция разомкнутой системы:
1 4
3
)
(
2 3




p
p
p
k
p
W
Полагая k = 2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчи- вой замкнутая система?
Решение.
Предварительно выясняем устойчивость разомкнутой системы по кри- терию Гурвица: система устойчива.
Найдём комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:
2 3
2 2
3 2
2 3
)
4
(
)
3 1
(
)
4
(
2
)
3 1
(
2 1
4 3
2
)
(






















j
j
j
j
W
Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:
2 3
2 2
2
)
4
(
)
3 1
(
)
3 1
(
2
)
(










U
,
2 3
2 2
3
)
4
(
)
3 1
(
)
4
(
2
)
(











V
Построим годограф разомкнутой системы.
По условию V(ω) = 0 находим частоты пересечения годографом дей- ствительной оси и соответствующие значения U(ω):
V(ω) = 0,
4ω – ω
3
= 0,
1

= 0,
3

= 2,
U(0) = 2.
U(2) = – 0,18.
Полагая U(ω) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V(ω):
U(ω) = 0,
1 – 3ω
2
= 0,
58
,
0
/
1 3
2



,
V(0,58) = – 0,94.
Для ω = 1 получаем U(1) = – 0,3, V(1) = – 0,46.
При ω = ∞ U(∞) = 0, V(∞) = 0.
Вид годографа показан на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Годограф по условиям примера 5.10
Разомкнутая система устойчивая, годограф не охватывает точку (–1,0), значит, замкнутая система тоже устойчивая.
3. Содержание занятия
Задания по тематике.
Задача 1.
Дана передаточная функция разомкнутой системы:
1 10
)
(
2



p
p
p
W
Определить по критерию Найквиста будет ли устойчива замкнутая си- стема.
Задача 2.
Передаточная функция разомкнутой системы
3 6
)
(


p
p
W
Выяснить устойчивость замкнутой системы.
Задача 3.
Разомкнутая система описывается уравнением
x
dt
dy
dt
y
d


3 2
2 2
Построить годограф Найквиста. Выяснить устойчивость замкнутой си- стемы.
V
U
-1 1
-1 0

5. Контрольные вопросы по теме занятия
5.1. Понятие об устойчивости.
5.2. Характеристическое уравнение.
5.3. Формулировка критерия Найквиста.