Занятие 8(Фдз 9). Занятие 8 (Фдз 9). Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве
 Скачать 410 Kb.
|
|
Занятие 8 (Фдз 9). Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве. 8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе. 8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы. 8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. 8.1. Пусть  -  -мерное линейное пространство. Линейной функцией  на этом пространстве называется отображение векторов  на вещественную ось  , обладающее свойством линейности:  или  и  . (1)Если   - базис пространства  и  - координаты вектора  в базисе  , то , где  .Пример 1. На линейном векторном пространстве  заданы две числовые функции  . Проверить, есть ли среди них линейные функции.Решение.  . .Согласно (2) функция  не является линейной функцией. , . .Выполнены оба свойства (2). Следовательно,  - линейная функция.Пример 2.  .  стандартный базис пространства . На этом пространстве задана линейная функция  такая, что . Найти  , если  .Решение.  . .8.2. Билинейной функцией на линейном пространстве называется числовая функция  линейная по  одновременно, т.е. ; (2) . (3)В базисе пространства билинейная функция принимает вид , (4)где  , и  - координаты векторов в базисе .Выражение  называется билинейной формой координат и .Если  , то билинейная функция называется симметричной.Билинейную форму можно записать в векторно-матричной форме  , (5)где  .Матрица  называется матрицей билинейной формы или матрицей билинейной функции в базисе . У симметричной билинейной формы матрица симметрична  . Соответствующая форма (5) называется симметричной билинейной формой.При переходе к новому базису  пространства , в котором координаты векторов соответственно равны  и  билинейная функция представляется билинейной формой ,в которой  .Матрицы и  связаны между собой равенством . (6)Здесь  - матрица перехода от базиса к базису  .Пример 3. На линейном векторном пространстве заданы две числовые функции  . Проверить, есть ли среди них билинейные функции.Решение. Пусть  , .1) Исследуем функцию  . Сначала проверим линейность функции по первому аргументу.  . линейна по первому аргументу.Теперь проверим линейность функции по второму аргументу. . . не линейна по второму аргументу.Окончательный вывод: функция не является билинейной функцией.2) Исследуем функцию  . Сначала проверим линейность функции  по первому аргументу.   линейность по первому аргументу.Теперь проверим линейность функции по второму аргументу.  линейность по второму аргументу.Окончательный вывод: - билинейная функция.В дополнение приведем векторно-матричное выражение для и ее матрицу. .Здесь  .Следовательно,  - матрица билинейной функции в базисе  . и т.д.Пример 4. Билинейная функция  на двумерном линейном пространстве в базисе  представлена следующей билинейной формой, , где  - координаты векторов в базисе .Найти выражение функции и матрицу этой функции в базисе  , если  .Решение.  , где  . - матрица функции в базисе .Найдем матрицу перехода от базиса к базису   -1-й столбец матрицы .  - 2-й столбец . .По формуле (6) вычисляем матрицу билинейной функции в базисе . .В базисе билинейная функция имеет следующее выражение .Здесь  ,  - координаты векторов в базисе .8.3. Квадратичной функцией  на - мерном линейном пространстве называется билинейная функция при совпадающих аргументах, т.е. при  . Следовательно,  . В базисе пространства .В найденном выражении функции  , слагаемые  и   представляют подобные члены:  . Поэтому,  , где  при  и  .Выражение квадратичной функции в виде  называется квадратичной формой.Пример 5. Найти квадратичные формы соответствующие билинейным формам:  ;  .Решение. 1)   .2)   .Следует отметить, что две различные билинейные формы могут давать одну и ту же квадратичную форму. Например, билинейные формы  , приводят к одинаковой квадратичной форме  .Таким образом, между билинейными и квадратичными формами не существует взаимно однозначного соответствия. Однако, если рассматривать только симметричные билинейные формы , то между этими формами и соответствующими им квадратичными формами  автоматически устанавливается взаимно однозначное соответствие.Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметричную матрицу  , в которой  . Такое соответствие взаимно однозначно (биективно) отображает множество всех квадратичных форм на множество симметричных матриц. Матрицу  называют матрицей квадратичной формы.Пример 6. Найти матрицы квадратичных форм  ,  .Решение. 1)   . - матрица квадратичной формы  .2)   . - матрица квадратичной формы  .С помощью матрицы квадратичной формы эту квадратичную форму можно переписать в следующей векторно-матричной форме . Пример 7. Записать квадратичные формы , в векторно-матричной форме.Решение. Воспользуемся матрицами  квадратичных форм и, найденными в примере 6.  .При переходе к новому базису , с которым связаны координаты , квадратичная форма меняется по закону , где  ,  - матрица квадратичной формы в новом базисе, ее получают из матрицы с помощью формулы , в которой  - матрица перехода от старого базиса к новому базису ( - невырожденная матрица, ее определитель отличен от нуля). Напомним, что старые и новые координаты связаны равенством  или .Эти формулы называются невырожденным линейным преобразованием координат. _______________________________________________________________ Домашнее задание. 1. Билинейные формы  ,  в базисе  имеет вид 1.1.  .1.2.  .Найти матрицу билинейной формы, ее матричное представление, а также матрицу и выражение в новом базисе  .2. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам из примеров 1.1, 1.2. Записать эти квадратичные формы в матричном виде. По квадратичным формам записать соответствующие им симметричные билинейные формы. |