Предикаты. Занятие 9 Предикаты

• Название: Занятие 9 Предикаты
• Анкор: Предикаты
• Дата: 03.06.2022
• Размер: 76.31 Kb.
• Имя файла: PR_9_Predikaty.docx
• Тип: Занятие; #567992

Практическое занятие №9

Предикаты

Цель: Изучить понятие предиката. Научиться выполнять операции

над предикатами и находить множество истинности предикатов, записывать

высказывания, используя кванторы, и определять их истинность.

Теоретическая часть




Пример 1: Даны предикаты, определить их множество истинности

1. «2х+5=3, х N», тогда I ={Ø} –множество истинности предиката

2. «2х+5=3, х R» тогда I ={-1}

3. «х<7, х N» I ={1,2,3,4,5,6}.

4. «В многоугольнике х имеется у вершин» - двухместный предикат А(х,у), где х Х, у У (Х – множество многоугольников, У= N - множество натуральных чисел (определяет число вершин))

Тогда (квадрат, 5) I, а (квадрат, 4) I
Пример 2. Найти множество истинности действия над предикатами

F (x): «3 ≤ х», х R

Q(x): « х ≤ 6», х R

а) конъюнкцияI_{F Q}: « »

б) дизъюнкция

I _{F Q}: « »

в) импликация

Пол определению I_{F Q}=
I_{F Q} : « »

Пример 3: Записать предложения с помощью кванторов, и определить их

истинность:

1) «Все целые числа кратны 3» т.е. одноместный предикат F(x): «число х кратно 3» . Присоединим квантор всеобщности ( x X)F(x), так как указано «все», что невозможно, поэтому высказывание ложное – Л.

2) «Некоторые целые числа кратны 3» т.е. одноместный предикат F(x): «число х кратно 3». Присоединяем квантор существования ( x X)F(x), так как указано «некоторые», а это действительно и высказывание истинное – И.

Пример 4.

а) X – это множество людей; одноместный предикат F(x): «Рост человека х меньше 180 см».

Рассмотрим все варианты навешивания кванторов, определим их истинность:

( x X)F(x) – «У всех людей рост меньше 180 см» - Л

( x X)F(x) – «У некоторых людей рост меньше 180 см» - И

( !x X)F(x) – «У единственного человека рост меньше 180 см» - Л
б) двуместный предикат F(x, y) – «Человек x родился в году y»

X – множество людей; Y – множество годов рождения;

x X, y Y

( x X)( y Y)F(x) F(x, y) «Для каждого человека х есть год у, в котором он родился» – И

( y Y)( x X) F(x, y) – «Существует год у, в котором родился любой человек х» - Л

( х Х)( у Y) F(x, y) – «Существует человек х, который родился в некотором году y» - И

Практическая часть

Задание 1. Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных над указанными множествами.

№ варианта Предикаты

1. «х кратно 3», М= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2. «х кратно 3», М= (3, 6, 9, 12};

3. «х кратно 3», М= {2, 4, 8};

4. «х² + 4 > 0», М= R;

5. «sin x > 1», Μ = R;

6. «х² + х - 6 = 0», Μ=R;

7. «х1 < х2», Μ1 = {1, 2, 3, 4, 5}, М2 = {3, 5, 7};

8. «х1 делит х2», М1 = М2 = {2, 3, 4, 6};

9. «|х1 | + х2 > 12», Μ1 = {-2, 4, 8}, М2 = {0, 7, 9, 11};

10. «х1 + х2 < 0», М1 = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, М2 = {-3, 1, 2};

11. «х² + 9 < 0», М= R;

12. «cos x > 1», Μ = R;

13. «х1 делится нацело на х2», М1 = М2 = {2, 3, 4, 6};

14. «х²+2х+1=0 », Μ=R;

15. «(х-5)(х+2)=0», Μ=R.

Задание 2. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих двухместных предикатов, заданных на множестве действительных чисел R.

х = у х + 3у < 6 |х| = |y| х2 + у2 = 9 ху = 0 х2 < у х2 = у2 у = 1/х

х2 +у2 =5 у=2х+1 х2 +у2 =7 у=3х-1 х2 +у2 <25 х2 +у2 ≥16 y=5x

Задание 3. Изобразите на координатной прямой множества истинности следующих предикатов.

1. а) (х > 2) (х < 2) б) (х > 1) (х < 12) 2. а) (х > -2) (х < 2) б) (х > 1) (х > -2) 3. а) (х > 2) (х < 2) б) (х > -3) (х < 4) 4. а) (х > 1) (х < 2) б) (х > 1) (х > -2) 5. а) (х > 1) (х < 2) б) (х > -1) (х > -2) 6. а) (х > 3) (х < -2) б) (х > 0) (х > -2) 7. а) (х >- 5) (х ≤ -2) б) (х ≥ -1) (х > -2) 8. а) (х >- 3) (х ≤ 0) б) (х ≥ -1) (х ≥ -2)

9. а) (х >- 3) (х ≤ 0) б) (х ≥ -1) (х ≥ 0) 10. а) (х ≥2) (х ≤ 2) б) (х ≥ 1) (х < 10) 11. а) (х ≥3) (х ≤ 6) б) (х ≥ 0) (х < 1) 12. а) (х ≥2) (х ≤ 9) б) (х ≥ 0) (х < 10) 13. а) (х ≥4) (х ≤ -8) б) (х ≥ 0) (х ≤ 1) 14. а) (х ≥4) (х ≤ -6) б) (х ≥ 7) (х ≤ 1) 15. а) (х ≥ 3) (х ≥ -2) б) (х > 0) (х ≤ -2)

Задание 4. Запишите следующие высказывания и определите, какие из них истинные, а какие ложные, считая, что все переменные пробегают множество действительных чисел:

( x) ( у) (х + у= 7) ( x) ( у) (х + у= 7) ( x) ( у) (х + у= 7) ( у) ( x) (х + у= 7) ( у) ( x) (х + у= 7) ( x) ( у) (х + у= 7) ( b) ( a) ( х) (х2 + ах + b = 0) ( а) ( b) ( х) ( х2 + ах + b = 0)

( b) ( a) ( х) (х2 + ах + b = 0) ( b) ( a) ( х) (х2 + ах + b = 0) ( x) ( у) (х2 + у2= 16) ( x) ( у) (х2 + у2= 16) ( x) ( у) (х2 + у2= 16) ( x) ( у) (х2 + у2= 16) ( у) ( x) (х2 + у2= 16)

Задание 5. Рассмотрите все варианты навешивания кванторов на предикат P(x,y) и опишите в словесной форме полученные высказывания. Определите истинность полученного высказывания.

P(x,y) определен на множестве людей:

1. 
   «x является родителем y»
   
2. 
   «x является дочерью y»
   
3. 
   «x живѐт в одном городе с y»
   
4. 
   «х является отцом для у»
   
5. 
   «x является родственником y»
   
6. 
   «x живѐт в одной стране с y»
   
7. 
   «x является сыном y»
   
8. 
   «x живѐт на одной улице с y»
   
9. 
   «х учится в одной группе с у»
   
10. 
    «x является дедушкой для y»
    
11. 
    «x живѐт в одном районе с y»
    
12. 
    «у является родителем х»
    
13. 
    «x является бабушкой для y»
    
14. 
    «у является родственником х»
    
15. 
    «x является соседом для y»
    

Контрольные вопросы

1. 
   Что называется квантором всеобщности? С помощью, каких слов выражается квантор общности?
   
2. 
   Что называется квантором существования? С помощью, каких слов выражается квантор существования?
   
3. 
   Что называется квантором единственности?