Экономические задачи 2. 1 это одна сотая часть чеголибо За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем
 Скачать 1.35 Mb.
|
|
. 1% - это одна сотая часть чего-либо; За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем; Формулы для подсчета процентов: если величину S увеличить на а %, то получим S(1+0,01а) если величину S уменьшить на а %, то получим S(1- 0,01а) если величину S дваждыувеличить на а %, то получим S(1+0,01а)2 если величину S дваждыуменьшить на а %, то получим S(1- 0,01а)2. Что необходимо знать и понимать при решении задач на проценты: 1. Задачи с аннуитетными платежами; 2. Задачи с дифференцированными платежами; Аннуитетный платёж Такая система выплат, при которой кредит выплачивается равными платежами. Дифференцированные платёж Каждый платёж выплачиваются разные суммы. Каждый раз клиент платит набежавшие проценты за 1 период и 1/n часть основного долга, где n – период, на который взят кредит (количество месяцев, лет). При такой схеме платежа наибольший платёж – первый, наименьший – последний. В первую очередь нужно уметь распознать тип задачи, прочитав условие задачи. Ключевая фраза при аннуитетной схеме платежа: долг выплачен равными платежами. Ключевая фраза при дифференцированном платеже: в таком-то месяце долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга предыдущего периода. В задачах с заданной схемой платежа даётся таблица, согласно которой происходят выплаты. Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата долга кредита) График погашения кредита аннуитетными платежами График погашения кредита дифференцированными платежами Дифференцированные платежи дают линейную зависимость от погашения кредита: чем меньше должен — тем меньше начислили процентов. Сумма и срок досрочного погашения ничем не ограничены. Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике «срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты, которые в конце графика как раз очень малы. Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное погашение невыгодно. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредита в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита. Пример № 1 Пусть в кредит планируется взять S рублей, а ежегодный платеж по кредиту будет составлять x рублей. Тогда каждый год долг увеличивается на 30% или в 1.3 раза и уменьшается на x млн рублей. После первой выплаты останется: 1,3 S- x После второй выплаты останется:1,3 (1,3 S- x)- x=1,69S-0.3 x После 3-й выплаты остаток равен 0, т.к по условию кредит был погашен за 3 года.: 1,3 (1,69S-0.3 x)-х=0 х=2,197S/ 3.99 По условию общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита, а значит: 3х= S+78030 3*2,197S/ 3.99= S+78030 (3*2,197S/ 3.99-1)S=78030 S=(78030*1,33):0,867=119700 Ответ: S=119 700 рублей. Пусть размер кредита S.Пусть размер кредита S. Процент банка равен а%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х. Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен: S( 1+0,01а ) - X. Обозначим р= 1+ 0,01а. Тогда через два года размер долга составит: (Sр – X)р-X Через три года: ((Sр – X)р-X)р – X. Через четыре года (((Sр – X)р-X))р – X)р – X. ...через п лет Sрп- X(рп-1+….р3+р2+р+1). Что необходимо знать и понимать при решении задач на погашение кредита равными долями Пример № 3 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастет на q% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите q. Решение:Ответ: q=3 % Пример 4.15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ: х = 3000 Решение. Пусть взяли в кредит 15 января х рублей, тогда 1-го февраля долг вырос на 1% и составил 1,01х руб. Со 2-го по 14-е февраля нужно выплатить долг “на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца” х/24 + 0,01х руб. После чего сумма долга на конец февраля составит 1,01х – х/24 – 0,01х = 23х/24 руб. В марте с учетом процентной ставки долг равен 23х/24 · 1,01х руб. К оплате со 2-го по 14-е марта сумма долга такова х/24 + 23х/24 · 1,01 руб. После чего сумма долга после 15 марта составит 23х/24 – (х/24 + 23х/24 · 1,01) = 22х/24 руб. И так далее … №4 №4 Решение. Общая сумма выплат за 24 месяца составляет: (х/24+0,01х)+(х/24+23х/24·1,01)+(х/24+22/24х·1,01)+…+(х/24+13/24х·1,01)+ (за первый год обслуживания кредита) +(х/24+12х/24·1,01)+(х/24+11х/24·1,01)+(х/24+10/24х·1,01)+…+(х/24+1/24х·1,01) = (за второй год обслуживания кредита) = х + 0,01х/24 · (24 + 23 + 22 + … + 12 + 11 + 10 + … + 2 + 1) За последние 12 месяцев сумма всех выплат равна 1597,5 рублей, а с другой стороны 0,5х + 0,01х/24 · (12 + 11 + 10 + … + 2 + 1) = 0,5х + 0,01х/24 · 78 = 0,5325х Приравнивая, получим уравнение 0,5325х = 1597,5 х = 3000 N=24, p=0,03, S(12)=798,75тыс.рублей. Найти S(24) Составляем таблицу в общем виде. Суммируем набежавшие проценты за первых 12 месяцев. Схема решения задач с аннуитетной схемой выплат. (Платеж фиксирован) А = 6902000; р = 12,5; n = 4. Найти х Составим таблицу в общем виде. Пусть а = р. Составим таблицу. |