лб1. Лабораторная работа 1. 1. Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислении

• Название: 1. Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислении
• Дата: 30.10.2021
• Размер: 104.44 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа 1.docx
• Тип: Документы; #259371

1. Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислении

Цель работы: используя переменные а,b,c,d,e, данные с верными цифрами, вычислить значения функции S,U,V,W,P и их абсолютную и относительную погрешности. Результаты вычислений S,U,V,W,P округлить, оставив верные и одну сомнительную цифры.

ПРИМЕР. Дано: а=13,48; b=121,51; с=3,415.

Все цифры исходных данных верные. Требуется вычислить . Результаты округлить, оставив верные и одну сомнительную цифры.

Вычисляем абсолютные и относительные погрешности исходных данных. Абсолютную погрешность определяем исходя из того, что все цифры исходных данных верные. Относительную погрешность находим по формуле , где - абсолютная погрешность приближенного числа а, А - точное число. Результаты вычислений представим в виде таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Исходные данные	абсолютная погрешность 	относительная погрешность 
13,48	0,005	0,00038
121,51	0,005	0,000042
3,415	0,0005	0,00015

Значение вычисляется как сумма двух значений и .

Тогда , а .

Вычислим и :

1. 157,2067; 0,00068;

0,1069.

2. 1,2229;

0,00041;

0,0005.

3. 158,4296;

0,1074 0,11;

0,00068.

Так как 0,11<0,5, то значение U содержит три верные значащие цифры (1, 5, 8), остальные цифры являются сомнительными. Округлим значение U, оставив только верные и одну сомнительную цифры. Данные представим в виде таблицы 1.2.

Таблица 1.2

Значение функции		
U  158,4296  158,4	0,11	0,00068

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. 
   Таблицу исходных данных, их абсолютных и относительных погрешностей (табл. 1.3);
   
2. 
   Заданные функции S, U, V, W, P и формулы по которым вычисляются их абсолютные и относительные погрешности;
   
3. 
   Таблицу значений функций S S, U, V, W, P и их абсолютных и относительных погрешностей (табл. 1.4).
   

Таблица 1.3

Исходные данные		
a =
b =
c =
d =
e =

Таблица 1.4

Значение функции		
S  число до округления   число после округления
U ……
V ……
W ……
P ……

Теоретическая часть

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называют абсолютную величину разности между точным числом А и его приближенным значением а:

=|А-а|.

Если точное число А не известно, тогда вводится понятие предельной абсолютной погрешности , т.е. границы (оценки) абсолютной погрешности

.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа А (А0):

.

Замечание. На практике , поэтому .

Определение. Предельная относительная погрешность , т.е. границы (оценки) относительной погрешности, имеет вид:

, причем .

Оценка погрешностей при вычислении

1. 
   Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
   

Пусть . Тогда ,

т.е. при сложении и вычитании приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.

2. 
   Относительная погрешность суммы n положительных приближенных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых.
   

Пусть , причем границы относительных погрешностей приближенных чисел равны соответственно.

Тогда , где .

3. 
   Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
   

Пусть , где можно считать все сомножители положительными. Тогда .

4. 
   При умножении и делении приближенных чисел их предельные относительные погрешности складываются.
   

Пусть , где , >0, тогда .

5. 
   При умножении приближенного числа х на точный множитель k предельная относительная погрешность не изменяется, а предельная абсолютная погрешность увеличивается в раз: , .
   
6. 
   Предельная относительная погрешность m-й степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа , .
   

Варианты лабораторных работ

Вариант	а	b	c	d	e	Вариант
1	3,418	7,241	18,315	32,01	0,4721	1
2	2,4154	1,3127	41,15	5,180	21,135	2
3	15,487	10,401	12,318	1,4158	7,0013	3
4	2,4172	1,3120	9,1318	18,145	21,418	4
5	17,425	10,815	11,211	2,4150	7,1327	5
6	7,4138	1,1310	9,1315	17,415	25,135	6
7	17,48	10,120	41,01	1,349	8,4251	7
8	2,817	9,3156	4,442	17,480	13,55	8
9	13,85	25,140	31,15	7,8153	9,314	9
10	7,3148	1,4145	6,317	17,18	21,10	10
11	21,18	35,48	10,10	1,418	5,4012	11
12	17,485	10,817	2,4831	25,40	3,25	12
13	3,40	7,823	9,312	0,9192	17,42	13
14	13,481	15,40	27,31	2,3155	1,2001	14
15	7,0809	3,2540	9,35	17,011	25,148	15
16	3,0714	7,4142	1,32	14,810	21,799	16
17	14,418	10,875	13,301	1,41	9,1310	17
18	3,7118	9,340	8,75	17,455	25,785	18
19	0,4152	1,34	7,2530	12,485	25,327	19
20	7,42	3,2521	2,0045	21,348	14,500	20
21	3,4180	2,3754	9,00	18,015	21,524	21
22	17,418	21,310	35,001	7,35	3,4849	22
23	9,1240	1,3504	2,3104	13,275	21,32	23
24	18,348	27,218	40,10	4,1841	9,1945	24
25	7,415	1,3495	8,1920	17,485	25,371	25
26	12,237	27,790	30,14	7,1318	9,9571	26
27	17,835	21,113	11,004	3,140	1,0204	27
28	5,142	4,3560	12,27	7,1213	0,9991	28
29	2,5472	0,248	24,513	1,12	16,2510	29
30	0,2456	7,4182	3,651	13,84	12,50	30

Вариант	S	U	V	W	P	Вариант
1	2a-3b+4c	ade	b/d	(a3b2c2e)/d2	a3b+dc+e	1
2	3a+5b-2d	abe	a/d	(a2b3d2c)/e2	ab3+bc+ed	2
3	4a+5b-2c	ace	b/e	(ab2d3)/	ad-e2+bc	3
4	2a+10b-c	bce	c/e	(b4c2e)/(a3d)	a2d+b3e-c	4
5	2c-a+7b	abd	c/d	(ab2e2)/(cd3)	ad2-b+ce	5
6	4c-5b+8a	abe	d/c	(a3b2c2)/(de)	ad+b3e+c	6
7	2c+5b-2a	ade	c/e	(ab2e2)/(dc)	ae+d2c+b	7
8	5b+4c-2a	ace	d/a	(a3b2d)/(c3e)	ad+be+c2	8
9	5b-2c+a	ade	a/e	(a2d2b)/(ce3)	ad2+bc+e	9
10	10b+3c-2a	ace	e/a	(ab3e)/(c3d)	b3e+a2+cd	10
11	2b+2a+5c	ade	b/e	(abd3)/(ce)	bd2+ac-e	11
12	2a-d+3b	ace	d/b	( bc2)/(de2)	ac2-e2+bd	12
13	10a-c+4b	ade	c/a	(a2ec)/(b2d3)	ac+e-b2d	13
14	5a+b-2c	adb	b/d	(ad2b)/(e3c)	ab+d2c-e4	14
15	3a+b-2c	ace	d/c	(a2b3d)/(ce)	ac-d2+bc	15
16	10a-5c+3b	acd	d/b	(a2c2e)/(b2d)	c2e+bd-a2	16
17	5a-b+3c	ace	b/e	(ad3e2)/(bc)	ae+b2+cd	17
18	10a+5b-c	bcd	d/b	(a2be)/(c2d)	a2c+bd+e	18
19	7a+8b-c	acd	d/c	(ab2e)/(c2d)	ac2-bd+e	19
20	2c+7b-a	acd	d/a	(b2c3e)/(a2d)	a2c+be-d	20
21	7a+4c-3b	ade	e/c	(a3ce)/(b2d)	a2d+e+b2c	21
22	2a+3b-c	abd	c/a	(ace2)/(d3b)	ae3+d2+bc	22
23	3b+9c-a	ade	e/a	(ab2d)/(c2e)	ad+b2e+c3	23
24	2a+4b-c	abc	b/c	(acd2)/(be2)	ae+d2+bc	24
25	5a+10b-c	ace	e/c	(a2ec)/(b3d)	a2c+b3e-d	25
26	6a+2b+c	abc	c/b	(a2e)/(bcd2)	ad2+be-c	26
27	3c-2b+c	dec	b/c	(e3ac)/(b2 )	d2a+be3+c	27
28	6a-5b-d	acd	a/b	(ab3c)/(d2e)	ab+c2d-e3	28
29	4a+5b+d	bcd	b/d	(a2b )/(c3d)	a2d-b2c+e	29
30	3a-2b+c	ade	d/e	(ab2c3)/(de)	ab2-dc+e	30