Физика дәріс. 1 Тізбек шегі анытамасы
 Скачать 31.08 Kb.
|
|
1 Тізбек шегі анықтамасы Егер — шегі бар болса (кейде оны немесе деп те белгілейді), онда оны функциянің х х0-ге сол жағынан ұмтылғандағы шегі деп атайды. Дәл осы сияқты функция -тің х х0-ге оң жағынан ұмтылғандағы шегін анықтауға болады. Функцияның оң жақты және сол жақты шектерін оның біржақты шектері деп атайды. Функциянің х0-дегі шегі болуы үшін оның оң жақты және сол жақты шектерінің болуы қажетті және жеткілікті яғни, функция шектері жөнінде келесі теоремалар орынды болады: Теорема. Айталық, және бар болсын, онда болады (мұнда болуы да мүмкін). Егер осы теоремалардың шарттары орындалмаса, онда түріндегі анықталмағандықтарды беруі мүмкін, ондай анықталмағандықта алгебралық түрлендірулер арқылы айқындалады. Сандық тізбек. х айнымалысының шегі туралы ұғымды қалыптастыру үшін оның қандай сандық жиынның мәндерінен құралатынын білу жеткіліксіз. Оған қосымша нақты қандай мәндер (оның ішінде қайталанатындары да болуы мүмкін) және оны қандай ретпен қабылдайтынын білу қажет, яғни айнымалы реттелген (бағытталған) болуы керек. Сандық тізбектің шегі. Бізге натурал қатар 1, 2, 3, 4, …, n, … берілсе, бұл қатардағы әрбір натурал сан n-ді белгілі бір заңдылықпен xn нақты санымен ауыстырсақ, онда төмендегідей тізбек шығады (13):
бұл тізбектің мүшелері немесе элементтері өсу реті бойынша нөмірленіп орналасқан. 1-Анықтама. (13) тізбегі арқылы берілген Х айнымалысының мәндерін сандық қатар деп атайды. (13) қатары берілді деп есептеледі, егер оның кез келген мүшесін табуға болатын ереже белгілі болса. 2-Анықтама. a санын X={Xn} тізбегінің шегі деп атайды, егер кез келген барынша аз  саны үшін N нөмірі табылып n>N мәндері үшін Xn -нің барлық мәндері төмендегі теңсіздікті қанағаттандырса:
бұл фактіні былай жазады:
Бұл анықтаманы басқаша былай айтуға болады: a саны X={Xn} тізбегінің шегі болады, егер оның мәні белгілі бір орыннан бастап a санынан өте аз шамаға өзгешеленсе. Мұндағы N нөмірінің  санын қалай таңдап алуымызға байланысты екенін білу өте маңызды. саны азайған сайын оған сәйкес N=Nε нөмірі жалпы алғанда өседі. | xn - a| < ε теңсіздігінен -ε Егер а, а+ε, а-ε сандарын {xn} айнымалысының мәндерін нүктелер арқылы сандық жазықтыққа кескіндесек (4 сурет), онда біз сан тізбегі шегінің айқын геометриялық ұғымын аламыз. Центрі a нүктесінде болатын қандай да бір өте аз (ұзындығы 2ε) кесіндісін алсақ та, xn -нің барлық нүктелері белгілі бір нөмірден бастап осы кесіндінің ішінде жатады (кесіндінің сыртында өте аз мөлшердегі нүктелер болуы мүмкін)
4 сурет - Сан тізбегі Шексіз аз және шексіз үлкен шамалардың анықтамасы 1-Анықтама. Шегі нөлге ұмтылатын сандық тізбек {xn} шексіз аз шама деп аталады. Егер анықтамадағы сандық тізбектің шегі a=0 болса, онда  теңсіздігі төмендегі түрге келеді (16)
(  үшін). Сонымен жоғарыда берілген шексіз аз шаманың анықтамасын «шек» атауын қолданбай-ақ беруге болады. Айнымалыны (сан тізбегін) шексіз аз дейді, егер ол абсолют шамасы бойынша алдын ала берілген барынша аз ε >0 санынан кіші болса.Бізге {xn} және {yn} сан тізбектері берілсе (17) және (18)
онда олардың қосындысы {xn+yn} төмендегідей тізбек болады:
2.2 Шексіз аз және шексіз үлкен шамалардың қасиеттері Теорема 1. Кез келген шектелген санмен шексіз аз шамалардың қосындысы да шексіз аз шама болады. Дәлелдеуі: Бізге шексіз аз {xn} және {yn} тізбектері берілген болсын. Анықтама бойынша, {xn} шексіз аз шамасы үшін барынша аз ε >0 санына сәйкес N' нөмірі табылып, n>N' мәндері үшін |xn|<ε/2 теңсіздігі орындалады.Дәл осыған ұқсас шексіз аз {yn} шамасы үшін N" нөмірі табылып, n>N" мәндері үшін |yn|<ε/2 теңсіздігі орындалады. Егер натурал сан N, N' және N" сандарының ең үлкені болса, онда  болғанда жоғарыдағы екі теңсіздік бір мезгілде орындалады (20):
Осыған ұқсас төмендегі теореманы дәлелдеуге болады. Теорема 2. Шектелген айнымалы мен шексіз аз шаманың көбейтіндісі шексіз аз шама болады. Салдар. Тұрақты шамамен шексіз аз шаманың көбейтіндісі шексіз аз шама болады. Теорема 3. Кез келген санды шексіз аз шамалардың көбейтіндісі де шексіз аз шама болады. Шексіз көп шамалар шексіз аз шамаларға кері шамалар болады. Анықтама. {xn} айнымалысын шексіз үлкен дейді, егер ол абсолют шамасы бойынша алдын ала берілген M>0 санынан үлкен болса. Шексіз үлкен шамалардың мысалы ретінде оның жалпы мүшесі түрінде берілуін айтуға болады. Егер {xn} айнымалысы шексіз үлкен болса және (ең болмағанда жеткілікті үлкен n үшін) анықталған белгісін сақтаса (+ немесе - ), онда сол таңбаларға қатысты айнымалы {xn} -нің шегі  немесе  деп жазады.  немесе  ;  немесе  Теорема 4. Егер айнымалы {xn} шексіз үлкен болса, онда оған кері шама {an}={1/xn} шексіз аз шама болады. Барынша аз ε>0 санын алайық. |xn|  ∞, онда M=1/ε саны үшін N нөмірі табылып, n>N мәндері үшін |xn|>M=1/ε теңсіздігі орындалады.Онда сол n үшін {an}<ε болады, бұл жағдай теореманың дұрыстығын дәлелдейді. Осыған ұқсас оған кері теореманы дәлелдеуге болады. Теорема 5. Егер айнымалы {xn} шексіз аз боса (нөлге айналмайтын), онда оған кері шама {an}={1/xn} шексіз үлкен болады. |
