Билет 1 Определение Множество l элементов x, y, z
 Скачать 7.15 Kb.
|
|
Билет №1 Определение 1.1. Множество L элементов x, y, z, ... любой природы называют линейным пространством, если выполнены три условия: задано сложение элементов L,т.е. закон, по которому любым элементам x, y G L ставится в соответствие элемент z G L, называемый суммой элементов xи y и обозначаемый z = x + y; задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу x G L и любому числу Л G R ставится в соответствие элемент z G L, называемый произведением элемента x на (действительное) число и обозначаемый z = Лx; указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линейного пространства: а) сложение коммутативно: x + y = y + x; б) сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z); в) существует такой элемент 0 G L, что x + 0 = x для любого x G L; г) для каждого элемента x множества L существует такой элемент (—x) G L, что x + + (—x) = 0; д) произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу: 1*x = x; е) умножение на число ассоциативно: Л(lx) = Лlx; ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: ^+/i)x = = Лx + ^x; з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам: Л(x+ y) = Лx + Лу. Свойство 1.1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор Свойство 1.2. Каждый вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор. Свойство 1.3. Если вектор (—ж) противоположен вектору ж, то вектор ж противоположен вектору (— ж). Свойство 1.4. Для любых двух векторов а и b уравнение а + ж = bотносительно ж имеет решение, и притом единственное. Свойство 1.5. Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору: 0 • x = 0. Свойство 1.6. Вектор, противоположный данному вектору x, равен произведению x на число —1: (—x) = (—1)x. |