Бинарная операция. Определение поля, кольца. Примеры

• Название: Бинарная операция. Определение поля, кольца. Примеры
• Дата: 02.09.2018
• Размер: 32.94 Kb.
• Имя файла: 1-7.docx
• Тип: Документы; #49616

1. 
   Бинарная операция. Определение поля, кольца. Примеры.
   

Бинарная операция - математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (из интернета, так как конкретное определение бинарной операции мы не писали).

Спец символы бинарной операции : «+», «-», «:», «*», «∙», «˚».

Виды бинарных операций :

• 
  Ассоциативная (a*b)*c=a*(b*c)
  
• 
  Коммуникативная a*b=b*c
  

Полем P называется коммуникативное кольцо, в котором структура (P, *) – абелева группа, то ест кольцо, в котором :

• 
  Существует e : a*e=e, a=a
  
• 
  Для любого a, принадлежащего P существует a^-1 принадлежит P : a*a^-1=e=1
  
• 
  ab=ba . Для любого a,b, принадлежащих P.
  

Непустое множество R, на котором заданы две бинарные операции «+» и «*», называется кольцом, если :

• 
  (К, +) – абелева группа
  
• 
  (К,*) – полугруппа
  
• 
  + и * связаны з-ком (a+b)c=ac+bc, для любого a, b, c, принадлежащих k.
  

2. 
   Определение группы. Примеры. Простейших свойствах группы.
   

Моноид, в котором каждый элемент обратим называется группой. ( Моноид – полугруппа, в которой есть нейтральный элемент ).

Группой, называется нпустое множество G, для которого выполняется условия :

• 
  На G бинарная операция x*y принадлежат G. Для любого x,y, принадлежащих G.
  
• 
  Бинарная операция ассоциативна (x*y)*z=x*(y*z).
  
• 
  Есть нейтральный элемент e˚x=x˚e=x. Длялюого x, принадлежащего G.
  
• 
  Все элементы G обратимы. Для любого a, принадлежащего G существует b, принадлежащий G : ф*и=и*ф=с
  

3. 
   Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое представление комплексного числа.
   

К.ч. – выражение вида x+iy, где x,y, принадлежат R.

• 
  Сложение (вычтание)
  

Z=Z1+-Z2=(x1+-x2)+i(y1+-y2)

• 
  Умножение
  

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(y1x2+x1y2)

• 
  Деление
  

4. 
   Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула возведения в степень комплексного числа. Доказать.
   

Умножение. То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

p1(cos(a1)+sin(a1))*p2(cos(a2)+sin(a2))=p1p2(cos(a1)cos(a2)+icos(a1)sin(a2)+isin(a1)cos(a2)-sin(a1)sin(a2))=p1p2((cos(a1)cos(a2)-sin(a1)sin(a2))+i(cos(a1)sin(a2)+sin(a1)cos(a2)))= =p1p2(cos(a1+a2)+isin(a1+a2))

Деление. То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.



Возведение в степень. При возведении комплексного числа Z в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргуент умножается на показатель степени.

|Z^n|=|Z|^n

Arg|Z^n|=nArgZ

Z^n=(|Z|(cos(a)+isin(a)))^n=|Z|^n(cosn(a)+isinn(a))

5. 
   Извлечение корней из комплексных чисел, геометрическая интерпретация.
   

Корень n-ой степени из к.ч. Z, называется к.ч. w: w^n=Z

Обозначим sqrt(Z)=w

Пусть Z=x+iy, w=n+isqrt

(n+isqrt)^n=x+iy

|w|^(cosn(a)+isinn(a)=p(cos(b)+isin(b), следовательно, |w|^n=p nb=b+2pik

|w|=(n)sqrt(p) b=(a+2pik)/n

(n)sqrt(Z)=(n)sqrt(p)(cos((a+2pik)/n)+ isin((a+2pik)/n)) – формула Муавра.

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью.

6. 
   Доказать, что комплексные числа образуют поле.
   

7. 
   Модуль, сопряжение комплексного числа и их свойства.
   

Мдулем к.ч. называется длина его радиуса вектора.

Обозн. |Z|=p(r)

Z=x+iy – алгебраическая

|Z|=sqrt(x^2+y^2)

К.ч. Ẑ=x-iy называется сопряженным к Z=x+iy

Если x и y — произвольные комплексные числа, то:

• 
  x = x тогда и только тогда, когда x — действительное число;
  

• 
  x + x — действительное число;
  

• 
  x · x — действительное число; более того, x · x > 0, причем x · x = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
  
• 
  x + y = x + y; 5) xy = x · y.