Сравнение по модулю m. Дидактический материал Алгебра 10
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
Дидактический материал Алгебра -10 Гуссамова Таслия Хамзаевна , учитель математики, МБОУ татарская гимназия №14 имени Хади Атласи, г. Бугульма «Сравнение по модулю m» Понятие сравнения Определение 1. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m (mN,если каждое из них при делении на m даёт один и тот же остаток r. Определение 2. Целые числа a и b сравнимы по модулю m, если a-b при делении на m даёт остаток 0. Обозначение: a b (mod m) Например: 3 1 (mod 2) , 6 4 (mod 2) , 47 11 (mod 9), 1 1 (mod 3), 5 -6(mod 11), 6 0 (mod 6) Найдите m 4 -1 (mod m) 10 1 (mod m) 2 2 (mod m) 1 -1 (mod m) 1 0 (mod m) 45 5 (mod m) m=5 m=3, m=9 m=5, m=25 m=11 m=2, m=5, m=10 m=2, m=4, m=8, m=5, m=10, m=20 m=40 Свойства сравнений по модулю: Если a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),то a ≡ с (mod m) Если a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m), a – c ≡ b – d (mod m), ac ≡ bd (mod m ), ≡ (mod m). Если ab ≡ 0 (mod m), и числа a и m взаимно просты, то b ≡ 0 (mod m). Пусть(x)=++…++ – многочлен n-ой степени от х с целыми коэффициентами. Тогда, если a ≡ b (mod m), то (a)=(b) (mod m) Доказать признак делимости на 9 Доказательство: Т.к. 1 1 (mod 9), то 1(mod 9) = =++….++ ++….++(mod 9) Т.о. натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. Доказать признак делимости на 25 Доказательство: Пусть n2 0 (mod 25) = =++….++ +(mod 25) Т.о. натуральное число сравнимо по модулю 25 с числом, образованным его двумя последними цифрами. Найдите остаток от деления на 3. Решение: Т.к. 2≡ -1 (mod 3),то ≡ -1 (mod 3). Поскольку -1≡ 2 (mod 3), то число 2 – остаток от деления числа на 3 Не выполняя деления, определите остаток от деления числа 1020008964441235 на 9 Найдем сумму цифр 1+0+2+0+0+0+8+9+6+4+4+4+1+2+3+5==49 Число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр 1020008964441235(mod 9), 49(mod 9). Следовательно 4 – остаток от деления числа 1020008964441235 на 9 |