ряды. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Высшей математики и математического моделирования Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для ЗРТ, ЗРГЭ Составители: Ваксман К.Г. Михайлова А.В. Москва, 2006 г. Контрольная работа № 7 Тема: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» Краткие теоретические сведения. Частные производные первого порядка. Дана функция . При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной (аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина) Например: 1) , ; 2) , (используем формулу ). Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка. ; ; ; . Пример, , ; ; ; ; . . Градиент скалярного поля – вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z. . Пример 2: Дана функция . Найти в точке . ; ; ; ; (использовалась формула ). Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , . Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке . ; ; ; (использовалась формула ). ; ; . Задания к контрольной работе № 7 Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка . Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.
Контрольная работа № 8 Тема: «Дифференциальные уравнения» Краткая теория и методические указания для решения: Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С. Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка: Уравнения с разделяющимися переменными Алгоритм решения: а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ; в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ; г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение . Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть . Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные. 2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным. Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. 2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант . Могут быть 3 случая: а) , два разных действительных корня и , ; б) , два равных действительных корня: = , ; в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , . 2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения . и – корни характеристического уравнения. 2.1.2.1. (а и – данные числа) а) , , ; б) , или . 2.1.2.2. а) , , ; б) , или . в) . 2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0). а) , , ; б) или . Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при . 2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у. Примеры Найти общее решение дифференциального уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1. а) ; б) ; в) ; г) ; Решение . Найти общее решение дифференциального уравнения . Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение . Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1). Решение. а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение . б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; . Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение: .Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества . Итак, . в) Общее решение: . г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3): . Подставим начальные условия: . Частное решение: при ; . Варианты контрольной работы Контрольная работа содержит 2 задания: Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .
Контрольная работа № 9 Тема: «Ряды» Краткая теория. Числовые ряды 1.0) , Число – общий или n-ый член ряда. 1.1) Сумма ряда. Пусть , . называется n-ой частной суммой. Если существует , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. Иначе ряд – расходящийся. 1.2); – остаток ряда. Если , то . 1.3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд 1.0) сходится, то . Применяется для доказательства расходимости ряда, таким образом: 1.3.1) Если , то ряд расходится. 1.4) Знакоположительные ряды: , . Достаточные признаки сходимости. 1.4.1) Признаки сравнения. Даны ряды (1) и (2). 1.4.1.2 – 1.4.1.3) Пусть , начиная с , где N = любое натуральное число. Если ряд сходится, то ряд сходится. Если ряд расходится, то ряд расходится. 1.4.1.4.) Если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно. 1.4.2) Интегральный признак Коши. Дан ряд , . Пусть – монотонно убывающая функция, т.е. , тогда если: а) сходится, то сходится; б) расходится, торасходится. 1.4.3) Признак Даламбера. Дан ряд . Пусть . При . 1.4.4) Радикальный признак Коши. Дан ряд . Пусть . При . 1.5) Знакочередующиеся ряды. 1.5.0) Ряд , где . 1.5.1) Признак Лейбница. Пусть а) , (– монотонно убывают); б) , тогда ряд сходится и его сумма . 1.5.2) Следствие: Остаток ряда . Если ряд сходится, то . Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого члена остатка. 1.6) Знакопеременный ряд. , где имеют разные знаки. 1.7) Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно. 1.8) Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно. 1.9) Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, поэтому, если для знакочередующегося ряда ряд из абсолютных величин расходится, то надо применить признак Лейбница, чтобы проверить, сходится ли исходный ряд условно. 2. Степенные ряды 2.1) ; Числа – коэффициенты ряда. При ряд сходится, называется центром сходимости. 2.1.1) При имеем ряд по степеням х: . Заменой ряд 2.1) приводится к виду 2.1.1) 2.2) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при всех х, таких, что степенной ряд абсолютно сходится, а для всех х, таких, что степенной ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости. При и ряд может сходиться или расходиться. Это необходимо исследовать по признакам 1.3.1), 1.4.1), 1.4.2). Для рядов, расходящихся при всех х, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся при всех х радиус сходимости . 2.3) План нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости . 2.3.0) Дан ряд 2.3.1) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Интервалы сходимости рядов 2.3.0) и 2.3.1) одинаковы. 2.3.2) К ряду 2.3.1), все члены которого положительны, можно применить признак Даламбера или радикальный признак Коши. Применение признака Даламбера: . В точках х, в которых этот предел меньше 1, ряд сходится, а в которых он больше 1, ряд расходится, значение , при котором это предел равен 1, является значением радиуса сходимости . Вид предела для определения интервала сходимости при применении радикального признака Коши . 2.3.3) Исследуем сходимость числовых рядов на границах интервала сходимости по признакам 1.3.1), 1.4.1) или 1.4.2). 3. Разложение функции в степенные ряды. 3.1) Ряд Тейлора в окрестности – значение n-ой производной функции в точке . Если , то разложение по степеням х называется рядом Маклорена. Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от х,
4. Применение рядов Тейлора 4.1) Вычисление определённых интегралов с помощью разложения функции в степенной ряд и затем интегрирования его почленно. Примеры для решения контрольной работы № 9 Контрольная работа содержит 3 контрольных задания (5 для ЗРФ). Дадим 2 примера контрольного задания №1. Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда . Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.3) . Возьмем , тогда. Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.3) Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда . Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; . По определению ; ; . q= 0, q < 1 следовательно, ряд сходится. Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ; Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда , . Применим признак Даламбера к полученному ряду , . Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости . Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и . а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). ряд расходится. б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится. Итак, на границах интервала исходный ряд расходится. Вывод. Интервал сходимости степенного ряда . Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно. Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для . ; Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность . Итак, с точностью . Задания к контрольной работе № 9 Задания контрольной работы: Исследовать сходимость числового ряда . Найти интервал сходимости степенного ряда . Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.
Контрольная работа № 10 Тема: «Теория вероятностей» Краткая теория и методические указания. Случайные события 1.1 Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах). 1.2 Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m– число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов . 1.3 События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого. 1.4 События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого. 1.5 Суммойсобытий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе). 1.6 Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и В (и А и В). 1.7 Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . . 1.8 Вероятность суммы событий А и В . 1.9 Для несовместных событий А и В : . 1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий . 1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. 1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий . 1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда . Случайные величины (СВ) Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений. Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом . 2.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале равна . Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные числовые значения. 2.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений
В первой строке таблицы указаны все значения . ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения ; . 2.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . . График представляет собой ступенчатую линию. Непрерывные случайные величины (НСВ). НСВ принимает свои значения непрерывно на некотором интервале числовой оси. 2.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , . 2.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. . 2.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как . 2.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю. Числовые характеристики случайных величин 3.1 Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ. Для ДСВ , для НСВ 3.2 Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно своего среднего значения . Пусть . Для ДСВ: , для НСВ: . 3.3 Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения. Нормальное распределение Оно самое распространенное распределение в природе, экономике и т.д. Обозначается , где и – параметры нормального распределения, . 4.1 Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба при и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается. 4.2 Математическое ожидание , дисперсия . 4.3 Функция распределения . 4.4 Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса, – функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , . 4.5 Вероятность того, что примет значения в интервале . Примеры решения контрольных заданий Задание 1. В урне находится белых и черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации: а) первый шар возвращают в урну б) первый шар не возвращают в урну. Решение: Событие А – два шара разных цветов. Оно является суммой двух событий . Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – белый; – второй шар – черный. Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – черный; – второй шар – белый. а) Первый вынутый шар возвращают в урну. При этом события и , а аналогично и являются независимыми (по 1.4). ; . Найдем вероятность события . Для него опыт – извлечение одного шара из урны. Общее число исходов опыта равно общему числу шаров . Число исходов опыта, благоприятных для события равно числу белых шаров . (по 1.2). Так как вынутый шар возвращают в урну, то рассуждая аналогично, получим ; ; . По формуле (1.10) ; . События и , очевидно, несовместные (см. 1.3). По формуле (1.9) ; . б) Первый шар после извлечения не возвращают в урну. При этом события и , а также и являются зависимыми (см. 1.4). По (1.12) ; . Вычислим условную вероятность события при условии, что произошло событие и шар не вернули в урну. Осталось в урне шаров, в том числе черных. . Аналогично рассуждая, получим . ; (по 1.12). События и – несовместные . Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная. Решение: Надо найти вероятность события А – взятая из второго ящика деталь – стандартная. Опыт здесь производится при условии двух гипотез: – из первого ящика сначала взяли и перенесли во второй стандартную деталь. – из первого ящика взяли и перенесли во второй нестандартную деталь. Будем пользоваться формулой полной вероятности . Найдем вероятности и . Общее количество элементарных исходов опыта для (а также для ) . Количество исходов опыта, благоприятных для равно числу стандартных деталей , а для равно числу нестандартных деталей . ; ; . При выполнении гипотезы , во втором ящике станет деталей, из них стандартных. . При выполнении гипотезы во втором ящике станет деталей, в том числе стандартных. . По (1.13) . Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.
Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение . Р ешение: Найдём функцию распределения . (по 2.3.2). Рассмотрим в интервалах между значениями . по (2.2.1) =. М График атематическое ожидание по (3.1) . 1 ; . Д 0,5 исперсия по (3.2) x . С 1 -1 -2 реднее квадратическое отклонение (по 3.3) . Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей. . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию . Решение: Найдем число по (2.4.3) ; ; . Найдем по (2.4.2) . Рассмотрим при значениях х на данных интервалах . . . Г 1 4 х рафики х 4 Математическое ожидание по (3.1) . . Дисперсия по (3.2) . Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности . Решение: Вероятность попадания случайной величины (см. 4.5) . Значение и находится по таблице функции Лапласа из приложения I. Схематический график – колоколообразная кривая (см. 4.1) . . Точка перегиба ; . . . f(x) 1 0,5 1 1,5 Варианты контрольной работы № 10 Контрольная № 10 содержит 5 заданий. Задание 1. В урне находится а белых иb черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации: а) первый шар возвращают в урну б) первый шар не возвращают в урну. Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная. Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения
Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение . Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию . Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности . Варианты значений параметров контрольных заданий
Литература Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977-2006 гг. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ. Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки). |