Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике. Экономические задачи в заданиях егэ по математике
 Скачать 1.09 Mb.
|
Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математикеКредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.Решение основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной.Задача № 1 на нахождение ежегодной выплаты 28 декабря 2018 года клиент взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 20 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк х рублей не позднее 28 декабря. Какой должна быть сумма х, чтобы клиент выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
1,728S - 3,64x=0 3,64x=1,728∙5460000 x=2592000 Ответ: 2592000 рублей Задача № 1 на нахождение ежегодной выплаты При решении таких задач можно увидеть закономерность и, оформив решение в общем виде, получить формулу. S-сумма кредита, р=, где r - процентная ставка, х – сумма ежегодных выплат; I год: S·p-х II год: III год: IV год: и т.д. Задача № 2 на нахождение суммы кредита 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Задача № 2 на нахождение суммы кредита Пусть начальная сумма кредита равна S. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно: ; ; ; …; . Погашение долга состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; ; ; ; ...; . Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Поэтому составляем уравнение: 12*+( =1370 S = = 2000тыс Ответ: 2 000 000 руб Арифметическая прогрессия Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an = a1 + d(n-1) Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn = n Задача № 3 на нахождение общей суммы выплат 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования. Задача № 3 на нахождение общей суммы выплат Решение: S - сумма кредита, r = 3% Вначале найдем сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат: 1-й месяц: + ; 2-й месяц: + ∙; ...; 8-й месяц: + ∙ = 99200 → S = 99 200∙ = 1 200 000, то есть планируется взять в кредит 1 200 000 рублей. Общая сумма, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, складывается из суммы кредита и суммы ежемесячно начисляемых процентов на остаток долга по сумме кредита : + +…+)= + 1 200 000=1 488 000 Задача № 4 на вычисление процентной ставки 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r? Задача № 4 на вычисление процентной ставки Пусть S сумма кредита. Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность остатка по кредиту на конец каждого месяца будет иметь вид: ; ;…. Найдем выплаты: 1 месяц: + S; 2 месяц: + ; …9 месяц: По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, значит: + = 0,15 ; r = 3. Клиент взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору он должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж. а) Ежемесячные выплаты подбираются таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно. б) Известно, что наибольший платеж был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р. Задача № 5 на вычисление процентной ставки Задача № 5 на вычисление процентной ставки S - сумма кредита, р - процентная ставка. Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов. Выплата в 1-й месяц: + ∙S и так как это наибольший платеж составим уравнение: ( + ∙S)∙25 = S → + p = 1, p = 1,5 Задача № 6 на нахождение количества лет выплаты кредита В июле клиент планирует взять в кредит 1,1 млн. рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года клиент должен выплатить некоторую часть долга. На какое минимальное количество лет клиент может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300тысяч рублей? Задача № 6 на нахождение количества лет выплаты кредита 1) В конце первого года долг составит: 1100000∙1,1 - 300000 = 910000 2) В конце второго года долг составит: 910000∙1,1 - 300000 = 701000 3) В конце третьего года долг составит: 701000∙1,1 - 300000 = 471000 4) В конце четвертого года долг составит: 471000∙1,1 - 300000 = 218210 5) В конце пятого года долг составит: 218210∙1,1 - 300000 0 , т.е. кредит будет погашен за 5 лет. Ответ: 5 лет Задача № 7 на нахождение количества лет выплаты кредита В июле взял кредит на сумму 9 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата следующие:
Известно, что последняя выплата составила 1,25 млн рублей. Найдите общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку. Задача № 7 на нахождение количества лет выплаты кредита Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно: 9; ;…; По условию каждый январь долг возрастает на 25%, т.е. последовательность начисленных процентов в январе такова: 0,25*9; 0,25* ;…; 0,25* последняя выплата составила 1,25 млн рублей : =1,25; =9. Значит, всего следует выплатить: 9+0,25**9*=20,25 (млн руб) Задача № 8 на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга 15-го марта планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1388 тысяч рублей? Задача № 8 на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга Решение: S - сумма кредита, r = 1% Известно, что 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей. И 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. за первые 10 месяцев необходимо погасить S-300 тысяч рублей одинаковыми платежами, т.е. уменьшение долга с 1-го по 10-й месяц составляет тысяч рублей ежемесячно. Т.о., ежемесячный долг перед банком за первые 10 месяцев составляет: ; ; ; …; . Погашение долга за первые 10 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; ; ; …; . В последний 11-й месяц общая выплата составила 300 + 300 тысяч рублей. общая сумма выплат за 11 месяцев 1388=10 + + + … + 300 + 300 . Ответ: 1300 тысяч Задача № 8а на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга 15-го марта планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1608 тысяч рублей? (ответ: 1200 тысяч рублей) Задача № 8а на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга Решение: S - сумма кредита, r = 3% Известно, что 15-го числа 17-го месяца долг составит 400 тысяч рублей. И 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. за первые 16 месяцев необходимо погасить S-400 тысяч рублей одинаковыми платежами, т.е. уменьшение долга с 1-го по 16-й месяц составляет тысяч рублей ежемесячно. Т.о., ежемесячный долг перед банком за первые 16 месяцев составляет: ; ; ; …; . Погашение долга за первые 16 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; (; (); …; . В последний 17-й месяц общая выплата составила 400 + 400 тысяч рублей. Общая сумма выплат за 17 месяцев 1608=16 + ++ …+ 400 + 400 . Ответ: 1200 тысяч Задача № 9 на нахождение конкретной выплаты кредита, в случае неравномерного погашения долга 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей? Задача № 9 на нахождение конкретной выплаты кредита, в случае неравномерного погашения долга Ответ: 200 тысяч Решение: S - сумма кредита, r = 3% Известно, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. с 1-го по 10-й месяц ежемесячный долг перед банком составляет: ; -80;-2*80; …;-10*80. Погашение долга за 10 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты тысяч рублей и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; (; (); …; . В последний 11-й месяц общая выплата составила -10*80 + (-10*80) тысяч рублей. Общая сумма выплат за 11 месяцев 1198= 10*80++ + +...+ ); =1000 Долг 15-го числа 10-го месяца будет =200 Задача № 9а на нахождение конкретной выплаты кредита, в случае неравномерного погашения долга 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей? (Ответ: 100 тысяч рублей) Решение: S - сумма кредита, r = 2% Известно, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. с 1-го по 18-й месяц ежемесячный долг перед банком составляет: ; -50;-2*50; …;-18*50. Погашение долга за 18 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты тысяч рублей и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; (; (); …; . В последний 19-й месяц общая выплата составила -18*50 + (-18*50) тысяч рублей. Общая сумма выплат за 19 месяцев 1209= 18*50++ + +...+ ); =1000 Долг 15-го числа 18-го месяца будет =100 Ответ: 100 тысяч рублей Задача № 9а на нахождение конкретной выплаты кредита, в случае неравномерного погашения долга |