Лабраб1 Цветков. Элементы теории игр

• Название: Элементы теории игр
• Дата: 26.05.2021
• Размер: 54.7 Kb.
• Имя файла: Лабраб1 Цветков.docx
• Тип: Документы; #209957

Элементы теории игр

1. 
   Дана матричная игра с платёжной матрицей
   

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

1. 
   Выпишем наименьшие элементы в строках и наибольшие в столбцах.
   

2. 
   Наибольший из наименьших строк – 3 (нижняя цена игры), следовательно, 2 является максиминная стратегия первого игрока. Наименьший элемент из столбцов – 5 (верхняя цена игры), следовательно, 1 минимаксная стратегия второго игрока.
   

Ответ: Верхняя цена игры – 5, нижняя цена игры – 3, максиминная стратегия первого игрока – 2, минимаксная стратегия второго игрока – 1.

2. 
   Дана матричная игра с платёжной матрицей
   

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

1. 
   Выпишем наименьшие элементы в строках и наибольшие в столбцах.
   

2. 
   Наибольший из наименьших строк – 6 (нижняя цена игры), следовательно, Наименьший элемент из столбцов – 6 (верхняя цена игры). Цены игры совпадают, следовательно, игра имеет седловую точку - 6.
   

Ответ: Верхняя цена игры – 6, нижняя цена игры – 6, игра имеет седловую точку - 6.

3. 
   Дана матричная игра с платёжной матрицей
   

Определить математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока), если смешанная стратегия первого игрока , а смешанная стратегия второго игрока .

1. 
   Формула математического ожидания -
   
2. 
   Составим уравнение - 52/25
   

Ответ: Математическое ожидание = 52/25

4. 
   Дана матричная игра с платёжной матрицей
   

Найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

1. 
   Составляем соответствующую данной матричной игре задачу линейного программирования:
   

F(x) = 1/3 +1 * 0 = 1/3

2. 
   Найдем цену игры и вероятности стратегии игроков.
   

g = 1/F(x) = 1/1/3 = 3 – цена игры

p₁ =3*1/3 = 1

p₂ =3*0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия первого игрока (1; 0)

q₁ = 3*1/3 = 1

q₂ = 3*0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия второго игрока (1; 0)

Ответ: Цена игры = 3, Оптимальная смешанная стратегия первого игрока (1;0), Оптимальная смешанная стратегия второго игрока (1;0)

5. 
   Пусть игра задана матрицей
   

Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры, используя графический метод.

Составим график



Запишем систему



Откуда

q₁ = 2/5

q₂ = 3/5

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A1,A4, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p1 = 0,p4 = 0.

9 * p₂ + 6 * p₃ = y

6*p₂ + 8*p₃ = y

p₂ + p₃ = 1

Откуда

p₂ = 2/5

p₃ = 3/5

векторы стратегии игроков:

P (0, 2/5, 3/5, 0), Q (2/5, 3/5)

Ответ: P (0, 2/5, 3/5, 0)

Q (2/5, 3/5)