Анализ данных. Экстремумы. финан финансовый университет при правительстве российской федерации

• Название: финан финансовый университет при правительстве российской федерации
• Анкор: Анализ данных
• Дата: 14.12.2020
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: Экстремумы.docx
• Тип: Решение; #160430

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего образования

«ФИНАН

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий

О.А.Баюк, С.Я.Криволапов, Т.Л. Мелехина

Монотонность и поиск локальных экстремумов функций (Excel)

Учебно-методические рекомендации для проведения

семинара №8 по компьютерному практикуму

Для бакалавров направления 38.03.01 «Экономика»

Электронное издание

Москва 2017

Монотонность и поиск локальных экстремумов функций (Excel)

Введение

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Необходимые условия возрастания (убывания) функции. Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любого .

Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема на интервале и для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Пример. Исследовать функцию на монотонность.

Решение. Функция определена на всей действительной оси: . Найдем производную функции:

при и при .

Ответ: функция возрастает на интервалах и убывает на интервале .

Точка из области определения функции называется точкой минимума (максимума) этой функции, если найдется такая δ-окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Если у функции несколько экстремумов, то их называют локальными.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то её производная в этой точке равна нулю: .

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси Ox.

Однако, обратное неверно, то есть если , то это не значит, что – точка экстремума. Например, для функции её производная:

равна нулю при , но не точка экстремума (в этом можно убедиться по графику функции).

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция в точке производной не имеет, но точка – точка минимума (также можно убедиться по графику функции).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки и при переходе через неё (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все её экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:

1. 
   Найти критические точки функции ;
   
2. 
   Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
   
3. 
   Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
   
4. 
   В соответствии с достаточным условием экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
   

Пример. Найти экстремум функции .

Решение. Очевидно, .

Находим производную функции

Производная не существует при и равна нулю при . Эти точки разбивают всю область определения на три интервала . Отметим знаки производной слева и справа от каждой из критических точек:
+ ̶ +

0 8 x
Следовательно, – точка максимума, и – точка минимума,

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Второе достаточное условие экстремума. Если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля , то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Одним из более эффективных способов нахождения приближённого значения корня является метод касательных. Рассмотрим применение этого метода на примере: С помощью графического метода найти промежуток  , на котором находится действительный корень   уравнения  . Пользуясь методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001.

Краткая геометрическая суть метода состоит в следующем: сначала с помощью специального критерия выбирается один из концов отрезка. Этот конец называют начальнымприближением корня, в нашем примере:  . Теперь проводим касательную к графику функции   в точке с абсциссой   (синяя точка и фиолетовая касательная):

Данная касательная пересекла ось абсцисс в жёлтой точке, и обратите внимание, что на первом шаге мы уже почти «попали в корень»! Это будет первое приближение корня  . Далее опускаем жёлтый перпендикуляр к графику функции и «попадаем» в оранжевую точку. Через оранжевую точку снова проводим касательную, которая пересечёт ось ещё ближе к корню! И так далее. Нетрудно понять, что, используя метод касательных, мы довольно быстро приближаемся к цели, и для достижения точности   потребуется буквально несколько итераций.

Решение.  На первом шаге следует отделить корень графически. Это можно сделать путём построения графика  .  

Итак, искомый корень принадлежит отрезку   и примерно равен 0,65-0,7.

На втором шаге нужно выбрать начальное приближение   корня. Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию: .

Найдём первую и вторую производные функции :



В качестве начального приближения выбираем  .

На третьем шаге нас ожидает дорога к корню. Каждое последующее приближение корня   рассчитывается на основании предшествующих данных с помощью следующей рекуррентной формулы:

Процесс завершается при выполнении условия  , где   – заранее заданная точность вычислений. В результате за приближённое значение корня принимается «энное» приближение: .

На практике результаты вычислений удобно заносить в таблицу, при этом, чтобы несколько сократить запись, дробь часто обозначают через  :


Сами же вычисления проводим в Excel– это намного удобнее и быстрее.

Выполнение работы.

Определение областей возрастания и убывания функции. Исследование функции на локальный экстремум. Критические точки.

1.1. Задача.

Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции

Решение:

Производная функции:





Построим на листе Excel график функции и ее производной.



Рис. 1.1.1. Построение графика функции.

Из графика видно, что – точка максимума. Т. к., данная функция – нечетная, то – точка минимума.

Следовательно, интервал возрастания функции ( , ), интервалы убывания функции

Ниже рассмотрим два способа более точного определения значений точек экстремума.

1-й способ.

Из приведенного выше рисунка 1.1.1 видно, что точка максимума расположена между 0.7 и 0.8. Отметим диапазон B10:D19 и сдвинем его вниз на 10 строк, теперь на освободившемся пространстве в столбце B зададим значения с шагом 0.01 и вычислим в столбцах С и D значения функции и ее производной. Поступая так же еще необходимое число раз, определим значений точки экстремума с требуемой точностью.



Рис. 1.1.2. Определение точек экстремума.

2-й способ.

Использование метода Ньютона (метода касательных) решения уравнений позволяет решить такую задачу.



Рис. 1.1.3. Метод касательных для определения корня производной.

Требуется найти корень производной данной функции

,

– начальное приближение, тогда в результате итерационного процесса находятся последующие приближения по формуле



Условие окончания процесса



с компьютерной точностью.

В ячейке J34 располагается начальное приближение , в ячейке K34 - вычисленное значение в ячейке L34 – значение в ячейке M34 – значение , в ячейке N34 – значение , в ячейку J35 копируется значение для выполнения следующей итерации. Процесс завершается по условию: значение в ячейке N34 равно 0. В данной задаче

0.707106781.

3-й способ.

Эту задачу можно решить, используя средство Excel «Подбор параметра».

Для этого следует выполнить следующие действия.

1. Расположить в первой ячейке начальное приближенное значение x=x0.

2. Во второй ячейке поместить формулу, вычисляющую значение .

3. Набрать: ДАННЫЕ →Анализ «Что если» → Подбор параметра

4. Задать значения аргументов

Установить в ячейке: Адрес второй ячейки

Значение: 0

Изменяя значение ячейки: Адрес первой ячейки.

Рассмотрим использование указанного средства на примере данной задачи.

Требуется найти корень уравнения



при условии, что начальное приближение .

В ячейку B31 помещаем значение 0,7, в ячейке B32 вычисляем соответствующее значение . Затем обращаемся к процедуре «Подбор параметра», как показано выше.



Рис. 1.1.4. Метод «Подбор параметров» для определения корня производной.

Указываем аргументы согласно следующему кадру:



Результат будет представлен в указанных ячейках как представлено на рисунке 1.1.5.



Рис. 1.1.5. Результат метода «Подбор параметров».

Следует отметить, что процедура «Подбор параметра» позволяет вычислить подбираемое значение с точностью порядка 0,001. Поэтому, если необходимо получить значение с более высокой точностью, следует использовать метод Ньютона.

1.2. Задача.

Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции .

Решение:

Для функции областью определения являются . Вычислим таблицу значений при , где , .

1. Вводим в диапазон ячеек A2:A34 рабочего листа Excel числа . В ячейку В2 вводим число 0,01. В ячейку В3 вводим формулу В2+0,05. Копируем формулу до ячейки В34.

2. В ячейку С2 вводим формулу =B2*LN(B2). Копируем формулу до ячейки С34.

3. Выделяем диапазон ячеек В2:С34. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная, как показано на рисунке.

Построим на листе Excel график функции и ее производной.



Рис. 1.2.1. Построение графика функции и её производной.

Следовательно, интервал возрастания функции ( , ), интервал убывания функции (0; ).

Точка минимума функции 0.367879441

1.3. Задача.

Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции

Построим на листе Excel график функции и ее производной.



Рис. 1.3.1. Построение графика функции и её производной.

1.4. Задача. Исследование функции на локальный экстремум.

Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции .

Решение:

Данная функция четная и периодическая с периодом равным . Следовательно, ее достаточно исследовать на отрезке длиной, равной половине периода.

Используя определение модуля, можно получить другое представление функции:



Следовательно, производная этой функции определяется следующим образом



или



Из последней формулы следует, что производная обращается в 0 в точках Причем в каждой из указанных точек производная меняет знак с плюса на минус, значит указанные точки являются точками максимума, в которых функция достигает значений равных 1.

Кроме того, в точках производная имеет точки разрыва 1-го рода, в которых ее значение меняется с -1 до 1 (скачки производной), таким образом, в указанных точках функция достигает минимумов, равных 0. Эти точки являются угловыми точками.

Используя Excel, эту задачу можно решить следующим образом.

На листе Excel зададим таблицу значений функции и ее производной на отрезке [-1.8; 3.20], содержащем период этой функции. Пусть при этом значения аргумента x возрастают с шагом . При этом в диапазоне B9:B259 располагаем указанные значения аргумента, в диапазоне С9:С259 вычисляем соответствующие значения функции с помощью формулы ABS(COS(B9)) с последующим продолжением на остальные ячейки диапазона, в диапазоне D9:B259 - соответствующие значения функции , в диапазоне E9:E259 - соответствующие значения функции , в диапазоне F9:F259 вычисляем соответствующие значения производной функции с помощью формулы ЕСЛИ(COS(B9)<0, SIN(B9), - SIN(B9)) последующим продолжением на остальные ячейки диапазона. После этого строим графики функции и ее производной (см. Рис. 1.4.1.).



Рис. 1.4.1. Построение графиков функции и ее производной.

На рис. 1.4.2. и 1.4.3 изображены графики функции и ее производной. Из графиков видно, что функция непрерывна, но ее производная имеет точки разрыва 1-го рода.



Рис. 1.4.2. График функции



Рис. 1.4.3. График производной .

Анализируя графики и учитывая периодичность функции, делаем вывод о том, что в точках , функция достигает свои максимальные значения, равные 1, а в точках свои минимальные значения, равные 0. Причем, точки являются угловыми точками графика функции, так как в этих точках производная функции терпит разрыв. Следует обратить внимание на то, что при переходе через все указанные точки производная меняет знак.

Задания для самостоятельной работы.

Задача 1. Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции

Задача 2. Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции

Задача 3. Найти точки локальных экстремумов и области возрастания и убывания функции