02 Самостоятельная работа тема 2. Функциональные ряды. Область сходимости. Методы нахождения области сходимости функционального ряда
 Скачать 26.03 Kb.
|
|
Самостоятельная работа по «Высшей математике» на тему: «Функциональные ряды. Область сходимости. Методы нахождения области сходимости функционального ряда» Функциональные ряды Определение:  , где  - функции переменной х называется функциональным рядом.При некоторых значениях х функциональный ряд сходится, при других значениях х – расходится. Определение: Множество значений переменной х, при которых функциональный ряд - сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Задача нахождения области сходимости функционального ряда является весьма трудной, хотя для некоторых рядов область сходимости найти легко.Пример: 1)  2)  Область сходимости Определение. Бесконечная сумма функций u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +… где un(x) = f (x,n), называется функциональным рядом. Если задать конкретное числовое значение х, ряд (u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +…) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом. Определение. Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд (u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +…) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда. Определение. Функция s(x), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из (u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +…) при данном значении х, называется суммой функционального ряда. Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда 1 + х + х² +…+ xn +… При |x| ≥ 1  поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же |x| < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:  .Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-1, 1), а его сумма имеет указанный вид. Замечание. Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда: sn = 1 + х + х² +…+ xn и остатка ряда: rn = s – sn . |