Главная страница
Навигация по странице:

  • ИСТОРИЯ ЦИРКУЛЯ

  • Правильный шестиугольник

  • Построение правильного пятиугольника.

    		•

    Реферат. Геометрические построения с помощью циркуля и линейки


    Скачать 1.42 Mb.
    НазваниеГеометрические построения с помощью циркуля и линейки
    АнкорРеферат
    Дата30.05.2021
    Размер1.42 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаРеферат.docx
    ТипДокументы
    #211910

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

    средняя общеобразовательная школа №34 с углубленным изучением отдельных предметов


    МАН, физико-математическая секция


    «Геометрические построения с помощью циркуля и линейки»

    Выполнила: ученица 7 «А» класса

    Батищева Виктория
    Руководитель: Колтовская В.В.

    Воронеж, 2013
    Оглавление

    Введение 4

    ИСТОРИЯ ЦИРКУЛЯ 5

    Основные построения 7

    1. Построение отрезка равного данному. 7

    2.Деление отрезка пополам (Задача на бисекцию). 7

    3. Построение угла равного данному. 8

    4. Построение биссектрисы угла. 8

    5.Построение непересекающихся прямых. 8

    6. Построение перпендикулярных прямых. 9

    Известные задачи 9

    1. Задача Брахмагупты 9

    2. Задача Аполлония 9

    Построение правильных многоугольников. 10

    Неразрешимые задачи 12

    А ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, ЧТО... 13

    (из истории геометрических построений) 13

    Заключение 15

    Литература: 16
    Введение

    Целью данной работы является проанализировать в каких областях деятельности человека используются геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

    Задачи данной работы: определить, что называют геометрическими построениями; рассмотреть известные задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки; показать, где могут применяться данные построения; выяснить существует ли связь между геометрическими построениями и законами природы, а так же научится выполнять основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
    Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

    • Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.

    • Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

    Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

    1. Описание способа построения заданного множества.

    2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.

    3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.



    ИСТОРИЯ ЦИРКУЛЯ

    Циркуль знаком каждому человеку со школы - на уроках геометрии нельзя обойтись без этого инструмента для рисования окружностей и дуг. Кроме того, его используют для измерения расстояний, например, на картах, его применяют в геометрии и для навигации. Обычно циркуль делается из металла и состоит из двух «ножек», на конце одной из них находится игла, на второй пишущий предмет, обычно графитный грифель. В случае если циркуль измерительный, на обоих его концах расположены иглы. Само слово циркуль происходит от латинского circulus - «круг, окружность, кружок», от латинского же circus - «круг, обруч, кольцо». В русский язык циркуль или циркул пришел от польского cyrkuɫ или немецкого Zirkel.

    Сейчас уже нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности.  
    История циркуля насчитывает уже несколько тысяч лет - судя по сохранившимся начерченным кругам, инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам (II - I века до нашей эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный циркуль (I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много древнеримских бронзовых циркулей. Причем в Помпеях найдены инструменты уже совсем современные: циркули с загнутыми концами для измерения внутренних диаметров предметов, «кронциркули» для измерения максимального диаметра, пропорциональные - для кратного увеличения и уменьшения размеров. При раскопках в Новгороде был найден стальной циркуль-резец для нанесения орнамента из мелких правильных кружочков, очень распространенного в Древней Руси. Со временем конструкция циркуля практически не изменилась, но ему придумали массу насадок, так что теперь он может вычерчивать окружности от 2 миллиметров до 60 сантиметров, кроме того, обычный графитный грифель можно заменить насадкой с рейсфедером для черчения тушью. Есть несколько основных типов циркулей: разметочный или делительный. Его применяют для снятия и перенесения линейных размеров; чертежный или круговой, его применяют для вычерчивания окружностей диаметром до 300 миллиметров; чертежный кронциркуль для вычерчивания окружностей от 2 до 80 миллиметров в диаметре; чертежный штангенциркуль для вычерчивания окружностей диаметром больше 300 миллиметров; пропорциональный - для изменения масштабов снимаемого размера. Циркуль используется не только в черчении, навигации или картографии - применение ему нашлось и в медицине: например, большой и малый толстотные циркули применяются для измерения поперечных размеров тела человека и для измерения размеров черепа соответственно, а циркуль - калипер используется для измерения толщины подкожно-жировой складки. Также известен циркуль Вебера, немецкого психофизиолога и анатома, разработанный им для определения порога кожной чувствительности. Но циркуль - не только всем известный инструмент. Этим словом названо маленькое созвездие южного полушария к западу от «Наугольника» и «Южного треугольника», рядом с α - Центавра. К сожалению, на территории России это созвездие не наблюдается. Кроме того, циркуль является символом неуклонной и беспристрастной справедливости, совершенной фигурой круга с центральной точкой, источником жизни. Наряду с квадратом циркуль определяет пределы и границы прямой линии. В ритуальной архитектуре циркуль символизирует трансцендентное знание, архетип, контролирующий все работы, навигатора. У китайцев циркуль означает правильное поведение. Циркуль - атрибут Фо-хи, легендарного китайского императора, считавшегося бессмертным. Сестра Фо-хи имеет квадрат, и вместе они - мужской и женский принципы, гармония инь и янь. У греков циркуль наряду с глобусом являлся символом Урании, покровительницы астрономии. Циркуль, совмещенный с наугольником - одна из самых распространенных эмблем, символов и знаков масонов. На этой эмблеме циркуль символизирует Небесный Свод, а наугольник - землю. Небо в данном случае символически связано с местом, где чертит план Великий Строитель Вселенной. Буква «G» в центре в одном из значений - сокращение слова «геометр», используемого в качестве одного из названий верховного существа.

    Основные построения

    1. Построение отрезка равного данному.

    Построение отрезка, равного данному отрезку АВ ( рис.1) выполняется с помощью циркуля таким образом: одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую — на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ.


    Рис.1

    2.Деление отрезка пополам (Задача на бисекцию).

    С  помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке (рис.2):
    Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
    Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг). По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q. Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

    Рис.2
    3. Построение угла равного данному.

    Пр оведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис.3). Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О-начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим С1. Опишем окружность с центром С1 и Рис.3

    радиусом ВС. Точка В1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
    4. Построение биссектрисы угла.

    Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса r. Пусть B и С – точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С проведем окружности тем же радиусом r. Пусть точка D – точка их пересечения, отличная от A. Проведем луч AD. Проведем отрезки BD и CD. Δ ABD = Δ ACD, по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ BAD = ∠ CAD и следовательно AD – биссектриса угла BAC. Рис.4

    5. Построение непересекающихся прямых.

    Соединим точку Р с точкой А, лежащей на прямой АВ (Рис. 5). Построим угол АРК, равный углу РАВ, то есть накрест лежащий этому углу. В итоге получим искомую прямую РК. Действительно, она проходит через точку Р и накрест лежащие углы   КРА=  РАВ. Рис.5

    Значит, по соответствующей теореме (РК) ║ (АВ).

    6. Построение перпендикулярных прямых.

    Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O рис.6. Окружность пересекает прямую в точках A и B. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей.Точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

    Искомая прямая проходит через точки С и О.



    Рис.6

    Известные задачи

    1. Задача Брахмагупты

    Построить вписанный четырехугольник по четырем его сторонам. Одно из решений использует окружность Аполлония. Решим задачу Аполлония, используя аналогию между трехокружником и треугольником. Как мы находим окружность, вписанную в треугольник: строим точку пересечения биссектрис, опускаем из нее перпендикуляры на стороны треугольника, основания перпендикуляров (точки пересечения перпендикуляра со стороной, на которую он опущен) и дают нам три точки, лежащие на искомой окружности. Проводим окружность через эти три точки – решение готово. Точно также мы поступим с задачей Аполлония.
    2. Задача Аполлония

    Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

    Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.


    Построение правильных многоугольников.

    Пр авильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°. Чтобы построить равносторонний треугольник нужно разделить окружность на 3 равные части. Для этого необходимо провести дугу радиусом R этой окружности лишь из одного конца диаметра, получим первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра. Соединив эти точки, получим равносторонний треугольник.

    Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения через деление окружности на 6 частей. Используем равенство сторон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров окружности описываем дуги радиусом R. Точки пересечения этих дуг с заданной окружностью разделят её на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник.

    Построение правильного пятиугольника.

    Пр авильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

    Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

    1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).

    2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

    3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.

    4. Постройте точку C посередине между O и B.

    5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямойOB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

    6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

    7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

    8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

    9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

    Неразрешимые задачи

    Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

    • Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.

    Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

    • Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

    В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

    • Квадратура круга - задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

    Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

    Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис.

    Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

    Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.
    А ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, ЧТО...

    (из истории геометрических построений)

    Когда-то в построение правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.

    Так, пифагорейцы, последователи религиозно-философского учения, основанного Пифагором, и жившие в древней Греции (VI-IV вв. до н. э.), приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

    Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге «Начала» древнегреческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. Для выполнения этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непрел ожным требованием античной математики).

    Правильные многоугольники нашли широкое применение и в античной астрономии. Если Евклида построение этих фигур интересовало с точки зрения математики, то для древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (около 90 - 160 г. н. э.) оно оказалось необходимым как вспомогательное средство при решении астрономических задач. Так, в 1-й книге «Альмагесты» вся десятая глава посвящена построению правильных пяти- и десятиугольников.

    Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и в архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.

    В «Десяти книгах о зодчестве» римского архитектора Витрувия (жившего примерно в 63 -14 гг. до н. э.) говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости «следует делать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями».

    Планировка городов очень интересовала Витрувия, который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров восемь и что они дуют в определенных направлениях.

    В эпоху Возрождения построение правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлось необходимой предпосылкой для построения крепостей.

    Правильный шестиугольник явился предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), о котором он рассказывает в своей книге «Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках». Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает, в частности, следующее: «...плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь»

    0дним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был великий немецкий художник и математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), который посвятил им значительную часть своей книги «Руководства...». Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3. 4, 5... 16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием.

    Дюрер применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. Наброски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах.

    Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех восьмиугольников).
    Заключение

    Итак, геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем. Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения.

    Благодаря этой работе я познакомилась с историей возникновения циркуля, подробнее познакомилась с правилами выполнения геометрических построений, получила новые знания и применила их на практике.
    Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства геометрических фигур и их элементов. В данной работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки. Рассмотрены основные задачи и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.
    Таким образом, цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.
    Литература:

    1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия:7-9 классы. – М.: Просвещение, 2011.

    2. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. – М.: Учпедгиз, 1957.

    3. Воронец А.М. Геометрия циркуля. - М.- Л.: ОНТИ, 1934.

    4. Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем. – М.: Наука,


    Интернет ресурсы:

    http://www.math.ru/lib/book/djvu/geometry/geopost.djvu

    http://ilib.mccme.ru/

    http://festival.1september.ru/articles/531406/

    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E_%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F_%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B8

    17

    написать администратору сайта