Идз 12. 1 Вариант Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 0
 Скачать 87.28 Kb.
|
 ИДЗ 12.1 – Вариант 0. 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 1.0  Знаменатель приравняем к нулю, решим квадратное уравнение  Тогда ряд можно представить в виде  Общий член  данного ряда представим в виде суммы простейших дробей: Тогда:  При  ;  При  ;  Поэтому  Найдем сумму первых n членов ряда:  Вычислим сумму ряда:  Сумма ряда  , данный ряд сходится2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.(2-6) 2.0  Воспользуемся признаком Д’Аламбера Пусть для ряда  ,  (начиная с некоторого n=n0) и существует предел  Тогда 1) при q<1 данный ряд сходится; 2) при q>1 данный ряд расходится. где  ,   Ответ: ряд расходится 3.0  Если, начиная с некоторого n=n0, un > 0 и  , то при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 ряд расходится при q = 1 радикальный признак Коши не применим Согласно радикальному признаку Коши, имеем:  Заменим арксинус эквивалентной величиной   Ответ: ряд расходится 4.0  Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:  Решим неопределенный интеграл:  Тогда  Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится Ответ: ряд расходится 5.0  Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  . Используем предельный признак сравнения   Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом Ответ: ряд расходится 6.0  Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения   Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Ответ: ряд сходится Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. (7-8) 7.0  Используем признак Лейбница. Данный ряд является знакочередующимся.  - условие выполняется Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:  Воспользуемся признаком Д’Аламбера где  ,   Так как  , следовательно, исследуемый ряд сходитсяИсходный ряд абсолютно сходится Ответ: ряд абсолютно сходится 8.0  Используем признак Лейбница. Данный ряд является знакочередующимся.  - условие выполняется Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:  Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:  Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится Исходный ряд условно сходится Ответ: ряд условно сходится |