Лекция (Интегралы). Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределенный интеграл
![]()
|
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() ![]() Следует отметить, что для заданной функции ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично в общем случае, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Совокупность всех первообразных для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() ![]() Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Основные свойства неопределенного интеграла. 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е, ![]() 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. ![]() 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. ![]() где ![]() 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. ![]() где ![]() 5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. ![]() Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример . Найти ![]() Решение. ![]() ![]() Интегрирование заменой переменных (подстановкой). Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой: ![]() где ![]() Пример. Найти ![]() Решение. ![]() Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например, ![]() Тогда Пример . Найти ![]() Решение. ![]() Интегрирование по частям. Пусть ![]() ![]() ![]() или ![]() Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла ![]() Пример . Найти ![]() Решение. ![]() ![]() Пример . Найти ![]() Решение. ![]() ![]() Пример. Найти ![]() Положим ![]() ![]() ![]() ![]() Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь ![]() ![]() ![]() ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Понятие интегральной суммы. Пусть на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На каждом отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() будем называть интегральной суммой для функции ![]() ![]() Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что она равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков ![]() ![]() Для избранного разбиения отрезка ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть предел интегральной суммы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При этом число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как ![]() ![]() Во введенном определении определенного интеграла ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. (Достаточное условие существования определенного интеграла) Если функция ![]() ![]() Свойства определенного интеграла.
![]()
![]()
![]()
![]() т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную ![]() ![]() ![]() Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям. Теорема. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда справедливо следующее равенство ![]() Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Теорема. Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |