Газовая динамика. Исследование аппроксимации разностной схемы. Выполним разложение функций,,, в ряд Тейлора в окрестности точки
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
Вариант 9. Для численного решения линейного уравнения переноса  (1), где a=0.5, задана разностная схема (2)Исследование аппроксимации разностной схемы. Выполним разложение функций  ,  ,  , в ряд Тейлора в окрестности точки    Подставим эти разложения в разностную схему. Получим:  Таким образом, невязка разностной схемы равна  и схема имеет второй порядок аппроксимации и по времени и по пространству. Первое дифференциальное приближение. Мы получили следующее дифференциальное представление разностной схемы (2) в Г-форме:  (3)Теперь можно выписать первое дифференциальное приближение в Г-форме:  (4)Для изучения свойств схемы построим П-форму. Для этого последовательно исключим производные по времени из правой части и заменим их производными по пространству. Получим:  (5)Данная схема обладает дисперсией и при  является немонотонной, т.к. она линейная и имеет второй порядок аппроксимации.Устойчивость. Используем для оценки устойчивости данной разностной схемы метод гармоник Фурье. Подставим в нашу разностную схему (2) соотношение:   Рассмотрим 2 случая:  и  В первом случае при любых значениях  схема является неустойчивой  .В случае  получаем: Возвращаясь к замене, получаем:  (6).Из (6) следует, что данная схема применима и при  , так как можно при заданных  и  подобрать такое значение временного шага  , что соответствующее значение  попадет в область устойчивости (6) рассматриваемой схемы.Таким образом, Сходимость. Из аппроксимации и устойчивости следует сходимость данной разностной схемы. Дисперсия. Подставим в данную разностную схему соотношение вида:         Вычислим групповую скорость:  Исходное дифференциальное уравнение переноса имеет дисперсионное соотношение  и соответствующую групповую скорость  Данная разностная схема даёт такое соотношение при  . При других соотношениях на шаг, схема обладает дисперсией. А при схема является неустойчивой. Дисперсионные графики  Рисунок 1 – Графики  в зависимости от безразмерного волнового числа  при разных значениях числа Куранта. Рисунок 2 – Графики групповой скорости в зависимости от безразмерного волнового числа при разных значениях числа Куранта (K = 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 1). Рисунок 3 – График групповой скорости в зависимости от безразмерного волнового числа при K = 2.Прикладная часть. Данная часть является практической стороной выше указанной задачи  Рассмотрим несколько задач. Возьмем начальные и граничные условия:  Разбиение счетной области:  Точное решение имеет вид:  Это решение необходимо для нахождения погрешности и оценки сходимости разностной схемы. Схема является условно устойчивой, поэтому при выборе шагов необходимо учитывать условие:   Рисунок 4 – Результаты расчетов задачи 1 (h = 0.01)  Рисунок 5 – Результаты расчетов задачи 1 (h = 0.005)  Рисунок 6 – Результаты расчетов задачи 1 (h = 0.001) Возьмем начальные и граничные условия:  Точное решение имеет вид:       Рисунок 7 – Результаты расчета задачи 2 при различных числах Куранта Возьмем начальные и граничные условия:  Точное решение имеет вид:  Рисунок 8 – Результаты расчетов задачи 3 (h = 0.01)  Рисунок 8 – Результаты расчетов задачи 3 (h = 0.005)  Рисунок 9 – Результаты расчетов задачи 3 (h = 0.001) Выводы. Схема имеет второй порядок аппроксимации по времени и второй по пространству:  Схема является условно устойчивой при соотношении  .Схема обладает свойством сходимости, так как аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение и является устойчивой при выполнении указанных выше критериев. В случае равенства  является точной. При выполнении неравенства обладает дисперсией.Результаты проведенных численных расчетов показали, что при уменьшении шагов по времени и пространству численное решение приближается к аналитическому. |