04555 Тема 2.1 Практика. Исследование математических моделей при решении задач на ценообразование и налогообложение
 Скачать 1.3 Mb.
|
|
Метод математического моделирования при решении задач социально- экономического содержания в формате ГИА Построение и исследование математических моделей при решении задач на ценообразование и налогообложение f(x) Построение математической модели (формализация) Математическая модель Исследование математической модели Анализ условия (математизация) Интерпретация результата Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Решение. Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Куртка Рубашка Рубашка Анализ условия (Математизация) Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Решение. Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Анализ условия (Математизация) Выявление всех свойств объектов, необходимых для решения задачи. Объект Цена Количество Стоимость Куртка Рубашка Рубашка Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Решение. Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Анализ условия (Математизация) Обозначение исходных объектов и их отношений математическими эквивалентами. Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝐱 𝟏 Рубашка 𝐲 𝟒 Рубашка 𝐲 𝟓 Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Решение (алгебраический способ). Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Построение математической модели (формализация) Перевод задачи на язык чисел, функций, уравнений, неравенств, систем, соотношений комбинаторики, логических схем, теории графов и т. д. Запись связей между входными и выходными параметрами на математическом языке. Уточнение математической задачи, которая должна быть решена. Оценивание полноты исходных данных − 𝟒𝒚 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖, 𝟓𝒚 − 𝒙 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝒓. Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝑥 1 𝐱 Рубашка 𝑦 4 𝟒𝐲 Рубашка 𝑦 5 𝟓𝐲 𝑘 = 𝑎 − 𝑏 𝑏 ∙ 100 Цена∙Кол-во=Ст-ть Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Математическая модель − 𝟒𝒚 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖, 𝟓𝒚 − 𝒙 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝒓. Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝑥 1 𝑥 Рубашка 𝑦 4 Рубашка Решение (алгебраический способ Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Исследование математической модели Решение задачи в рамках математической теории, на основе которой составлена модель − 4𝑦 𝑥 ∙ 100 = 8, 5𝑦 − 𝑥 𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝑥 1 𝑥 Рубашка 𝑦 4 Рубашка 5𝑦 𝟒𝒚 = 𝟎, 𝟗𝟐𝒙 𝟓𝒚 − 𝒙 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝒓. ⇒ 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟒𝟎𝟎𝒚 = 𝟖𝒙, 𝟓𝒚 − 𝒙 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝒓. ⇒ ⇒ 𝒚 = 𝟎, 𝟐𝟑𝒙 (𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟑 − 𝟏)𝒙 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝒓. ⇒ 𝒚 = 𝟎, 𝟐𝟑𝒙 𝟏𝟓 = Решение (алгебраический способ Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Интерпретация результата Проверка достижимости полученных значений при работе с моделью в реальных условиях задачи. Ответ на конкретный вопрос задачи − 4𝑦 𝑥 ∙ 100 = 8, 5𝑦 − 𝑥 𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝑥 1 𝑥 Рубашка 𝑦 4 Рубашка 5𝑦 4𝑦 = 0,92𝑥 5𝑦 − 𝑥 𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ 100𝑥 − 400𝑦 = 8𝑥, 5𝑦 − 𝑥 𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ ⇒ 𝑦 = 0,23𝑥 (5 ∙ 0,23 − 1)𝑥 𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ 𝑦 = 0,23𝑥 15 = Ответ на Таким образом, 5 рубашек дороже куртки на Решение (алгебраический способ Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Замечание Арифметический способ решения для данной задачи базового уровня, очевидно, менее громоздкий. Но математическую модель составляет всё решение. Для задачи ЕГЭ повышенного уровня сложности, в которой требуется записать развёрнутое решение, такой способ может привести к полной потере баллов из-за одной вычислительной ошибки. При алгебраическом способе решения, если ошибка допущена на этапе верного исследования верно построенной математической модели, по критериям выставляется 1 балл. f(x) Ответ: на Решение (арифметический способ). Объект Проценты, Куртка 4 рубашки – 8 = 92 1 рубашка ∶ 4 = 23 5 рубашек ∙ 5 = Процентное отношение 100 ∙ 100 = Разница – 100 = 15 Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов куртка дешевле пяти таких рубашек При необходимости результат округлите до целого числа процентов. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А − 4𝑦 𝑥 ∙ 100 = 8, 5𝑦 − 𝑥 5𝑦 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ Объект Цена Количество Стоимость Куртка 𝑥 1 𝑥 Рубашка 𝑦 4 Рубашка 5𝑦 4𝑦 = 0,92𝑥 5𝑦 − 𝑥 5𝑦 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ ⇒ 100𝑥 − 400𝑦 = 8𝑥, 5𝑦 − 𝑥 5𝑦 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ ⇒ 𝑦 = 0,23𝑥 (5 ∙ 0,23 − 1)𝑥 1,15𝑥 ∙ 100 = 𝑟. ⇒ 𝑦 = 0,23𝑥 13 = Решение (алгебраический способ). Ответ: на Таким образом, куртка дешевле рубашки на 13%. 𝑘 = 𝑎 − 𝑏 𝑏 ∙ 100 Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Стр х предприятий города в бюджет поступают налоги сих прибыли. Если прибыль первого предприятия увеличилась вдвое, общая сумма налоговых поступлений стр х предприятий выросла бы на 51%. Если бы прибыль третьего предприятия уменьшилась вдвое, общая сумма налоговых поступлений с трёх предприятий сократилась бы на 3%. Сколько процентов от общей суммы налоговых поступлений стр х предприятий составляют налоговые поступления со второго предприятия? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Доход 1, Доход 2, Доход 3, Предприятие Предприятие Предприятие 3 z Всего 151 Решение (алгебраический способ+ 𝑘 𝑏 + 𝑘 𝑐 = 100%, 𝑘 𝑎 , 𝑘 𝑏 , 𝑘 𝑐 - процент, который составляет каждое из чисел 𝑎, 𝑏, по отношению к их сумме + 𝑦 + 𝑧 = 100, 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 151, 𝑥 + 𝑦 + 0,5𝑧 = 97; ⇒ ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100, 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 51, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − (𝑥 + 𝑦 + 0,5𝑧) = 3; ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100, 𝑥 = 51, 0,5𝑧 = 3; 𝑦 = 43, 𝑥 = 51, 𝑧 = Ответ Таким образом, налоговые поступления со второго предприятия составляют 43% от общей суммы налоговых поступлений Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача В магазине одежды проводилась распродажа. Джинсы продавались со скидкой 30%, а футболка- со скидкой 40%. Покупатель приобрёл футболку и джинсы заруб, заплатив на 34% меньше их суммарной стоимости без скидки. Определите первоначальную стоимость джинсов? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Доход 1, Доход 2, Джинсы − 0,3 Футболка − 0,4 Всего + 𝑦 0,7𝑥 + Решение (алгебраический способ). Ответ: Таким образом, налоговые поступления со второго предприятия составляют 43% от общей суммы налоговых поступлений + 0,6𝑦 = 2310, 0,7𝑥 + 0,6𝑦 = (1 − 0,34) 𝑥 + 𝑦 . 0,66 𝑥 + 𝑦 = 2310, 𝑥 + 𝑦 = 3500, 0,7𝑥 + 0,6(3500 − 𝑥) = 2310, 0,1𝑥 = 2310 − 0,6 ∙ 3500, 𝑥 = 2100. 𝑥 = 2100, 𝑦 = 1400. 𝑦 = 3500 − 𝑥, 𝑎 = 𝑏 ∙ 1 − 𝑟 100 25 ∙ 1,5 𝑥 ∙ 2 𝑦 ∙ 1,2 = 405, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, 𝑁 = 𝑥 + 𝑦 общее количество посредников. Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Цена производителя на некоторое изделие составляет 25 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, изделие проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает цену вили раза, осуществляя услуги по хранению и транспортировке изделий. Магазин делает наценку 20%, после чего изделие поступает в продажу по цене 405 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Количество Коэффициент увеличения Множитель Цена, руб. Производитель - - - 25 Посредник 1 типа 1,5 𝑥 25 ∙ Посредник 2 типа 2 𝑦 25 ∙ 1,5 𝑥 ∙ Магазин 1,2 1,2 25 ∙ 1,5 𝑥 ∙ 2 𝑦 ∙ 1,2 Продажа - - - 405 f(x) Решение. Ответ : 5. 3 2 𝑥 ∙ 2 𝑦 = 27 2 , 3 𝑥 ∙ 2 𝑦−𝑥 = 3 3 ∙ 2 −1 𝑥 = 3, 𝑦 − 𝑥 = −1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; ⇒ 𝑥 = 3, 𝑦 = Таким образом, общее количество посредников = 𝑥 + 𝑦 = 3 + 2 = Так как числа 3 и 2 простые, то по основной теореме арифметики имеем S ∙ 1 + 𝑟 100 𝑛 S n = S ∙ 1 + 𝑟 1 100 ∙ ⋯ ∙ 1 + 𝑟 𝑛 100 Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Найдите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции (без скидок) составляла 1000 рублей. М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А f(x) Решение. Ответ : Таким образом, сумма, вырученная от продажи всех акций, равна 962500 рублей. S n = S ∙ 1 + 𝑟 100 𝑛 S n = S ∙ 1 + 𝑟 1 100 ∙ ⋯ ∙ 1 + 𝑟 𝑛 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 последовательность натуральных чисел кратных 5-ти, 𝑏 𝑚 − последовательность натуральных чисел кратных 13-ти, 𝑐 𝑘 − последовательность натуральных чисел кратных 5-ти и 13-ти, то есть кратных 65-ти, так как 5 и 13 взаимно простые числа 5𝑛, 𝑏 𝑚 = 13𝑚, 𝑐 𝑘 = 65𝑘, 𝑛, 𝑚, 𝑘 ∈ ℕ, 5𝑛 ≤ 1000, 13𝑚 ≤ 1000, 65𝑘 ≤ 1000, 1000 ∙ 0,9 𝑛 − 𝑘 + 1000 ∙ 0,75𝑚 + 1000 ∙ 1000 − 𝑛 − 𝑚 + 𝑘 = 𝑆, 𝑛, 𝑚, 𝑘 ∈ ℕ. 𝑛 = 200, 𝑚 = 76, 𝑘 = 15, 900 ∙ 185 + 750 ∙ 76 + 1000 ∙ 739 = 962500. Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Студент получил свой первый гонорар в размере 900 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет лилий для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество лилий сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, лилии стоят 120 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Сумма, руб. % Гонорар 900 Полученные деньги 𝑆 𝑆 f(x) Решение. Ответ : Таким образом, наибольшее количество лилий, которое может купить студент равно пяти. Объект Цена за штуку, руб. Количество, шт. Цена букета, руб. Производитель 120 𝑛 120𝑛 900 ∙ 100 − 13 : 100 ≥ 120𝑛, 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑛 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℤ , 783 ≥ 120𝑛, 6,525 ≥ 𝑛, 𝑛 = Приближение по недостатку Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Магазин закупает обойный клей по оптовой цене 120 рублей за пачку и продает с наценкой 20%. Сколько рублей придётся потратить на покупку обойного клея для ремонта квартиры, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Цена за пачку , руб. Цена за пачку , руб Количест во, шт. Стоимос ть, S руб. Клей 1,2𝑧 𝑛 1,2 𝑧𝑛 f(x) Решение. Ответ : 1584 рубля. Приближение по избытку = 1,2𝑧𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 1. 120 ∙ 1,2 = 144 (руб) – цена за одну пачку клея 6 + 1 = 11 (шт) – необходимое количество пачек клея, 3. 144 ∙ 11 = 1584 ( руб) – придётся потратить 𝑥 + 𝑦 = 0,7𝑥 + 𝑦 + 0,01𝑘𝑦, 2(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 0,7𝑦 + Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача У бизнесмена Сидорова много скоропортящегося товара, который он держит на двух складах. Когда часть товара портится, Сидоров уценивает эту часть на 30 процентов, а стоимость всего остального товара увеличивает на k процентов. Если испортится весь товар с го склада и только он, выручка Сидорова не изменится, а если испортится весь товар со второго склада (и только он, она увеличится в 2 раза. Найдите Метод математического моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Стоимость первоначальная Стоимость с уценкой товара с го склада Стоимость с уценкой товара со го склада Склад 1 𝑥 (1 – 0,3)𝑥 (1 + 0, Склад 2 𝑦 (1 + 0, 01𝑘)𝑦 (1 – Всего + 𝑦 0,7𝑥 + 𝑦 + 0,01𝑘𝑦 𝑥 + 0,7𝑦 + Решение = 𝑏 ∙ 1 + 𝑟 100 𝑎 = 𝑏 ∙ 1 − 𝑟 100 ⇒ 0,3𝑥 = 0,01𝑘𝑦, 𝑥 + 1,3𝑦 = 0,01𝑘𝑥; ⇒ ⇒ 𝑦 = 30𝑥 𝑘 , 100𝑥 + 3900𝑥 𝑘 = 𝑘𝑥; ∗ : 𝑥 = 0 не удовл. усл или 100𝑘 − 3900 𝑘 = 0, ⇒ 𝑦 = 30𝑥 𝑘 , 100 + 3900 𝑘 − 𝑘 𝑥 = 0; (∗) 𝑘 = −30 не удовл. усл , 𝑘 = 130. ⇒ 𝑦 = 3𝑥 13 , 𝑘 = Условию задачи удовлетворяет только положительный корень. Бизнесмен Сидоров увеличивает цену на 130 Ответ 130. Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение Задача При оптовой продаже цена первого товара равна 5 млн рублей, а второго 20 млн рублей. Определённый процент оптовой цены (для каждого товара свой) составляет стоимость товара, остальное – торговая наценка. При розничной продаже цены товаров увеличиваются за счет увеличения наценки, при этом процент, который составляет стоимость от цены, уменьшается для первого товара враз, а для второго товара враз по сравнению с оптовой продажей. Известно, что 𝑥𝑦 = 4. На какое наименьшее число может увеличиться сумма цен (в млн рублей) обоих товаров при розничной продаже по сравнению с оптовой? М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- эконом и чес ко гос одержан и я в формате Г И А Объект Оптовая цена, млн руб. Стоимость, млн руб. Розничная цена, млн руб. Стоимость, млн руб. Товар 1 5 5 ∙ 𝑟 1 100 c 1 𝑐 1 ∙ 𝑟 1 Товар 2 20 20 ∙ 𝑟 2 100 c 2 𝑐 2 ∙ 𝑟 2 Всего+ 𝑐 2 f(x) Решение. Ответ : млн рублей = 𝑘 100 ∙ Так как стоимость не меняется, то 5 ∙ 𝑟 1 100 = 𝑐 1 ∙ 𝑟 1 100𝑥 , 20 ∙ 𝑟 2 100 = 𝑐 2 ∙ 𝑟 2 откуда 𝑐 1 = 5𝑥, 𝑐 2 = 20𝑦. 𝑥𝑦 = 4, 𝑛 = 5𝑥 + 20𝑦 − 25; 𝑦 = 4 𝑥 , 𝑛 = 5𝑥 + 80 𝑥 − 25; 𝑛 = 5𝑥 + 80 𝑥 − 25 = 20 𝑥 4 + 4 𝑥 − Таким образом, наименьшее число, на которое может увеличиться сумма цен обоих товаров при розничной продаже по сравнению с оптовой, равно 15 млн рублей. По свойству взаимно обратных чисел 𝑥 4 + 4 𝑥 ≥ 2, тогда 25 ≥ 15, Построение и исследование математических моделей при решении на ценообразование и налогообложение М е то дм ат ем ат и чес кого моделирования при решении задач социально- экономического содержания в формате Г И А Дистанционные курсы повышения квалификации Москва, ул. Воронцовская астр |