Изучение понятия обусловленности вычислительной задачи
 Скачать 39.93 Kb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ отчет по практической работе №2 по дисциплине «Вычислительная математика» Тема: Изучение понятия обусловленности вычислительной задачи
Санкт-Петербург 2019 Цель работы. Исследование обусловленности задачи нахождения корня уравнения на примере линейной функции. Основные теоретические положения. Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных x и решения y установлено неравенствоν :  (1) где  и  – приближенные входные данные и приближенное решение соответственно. Тогда величина  называется абсолютным числом обусловленности. Если же установлено неравенство: (2)между относительными ошибками данных и решения, то величину  называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи  Грубо говоря, если  где ν – относительное число обусловленности, то порядок N показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.Ответ на вопрос о том, при каком значении ν задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой – от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение ν = 10 сигнализирует о плохой обусловленности. Однако (при тех же требованиях к точности результата) гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что и при  задача хорошо обусловлена.Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения  то роль числа обусловленности будет играть величина: (3)где  – корень уравнения.Постановка задачи. Используя программы-функции BISECT и Round из файла condition.cpp, исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения f(x)=0 для линейной функции f(x)=c(x−d). Значения функции f(x) следует вычислить приближенно с точностью Delta, варьируемой в пределах от 0.1 до 0.000001. Порядок выполнения работы следующий: Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0, т.е. найти отрезки [a,b], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции. Составить подпрограмму вычисления функции f(x)=c(x−d) для параметров c и d, вводимых с клавиатуры. Предусмотреть округление вычисленных значений функции f(x) с использованием программы-функции Round с точностью Delta, также вводимой с клавиатуры. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения с заданной точностью Eps и содержащую обращение к подпрограмме F, программам-функциям BISECT, Round и представление результатов. Провести вычисления по программе, варьируя значения параметров c (тангенс угла наклона прямой), Eps (точность вычисления корня) и Delta (точность задания исходных данных). Проанализировать полученные результаты и обосновать выбор точности Eps вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными. Выполнение работы. Выполняется обработка и анализ полученных результатов, представление их в понятном и доступном виде (таблицы, графики и т.п.). Оформление всех объектов отчёта выполняется в соответствии с Правилами Оформления НТО (ознакомиться с правилами можно на сайте ЛЭТИ в разделе «Документы для учёбы»). Выводы. Оценивается степень соответствия полученных результатов расчетов и экспериментов с теоретическими данными. Дается объяснение полученных в ходе работы зависимостей и результатов. Студенты имеют право оформлять отчет как в рукописном варианте, так и использовать для оформления и печати ЭВМ и МФУ. Приложение А Название приложения Полный код программы приводится только в приложении (один файл – одно приложение). Для кода: размер шрифта 12 кегль, межстрочный интервал 1,15, стиль шрифта Consolas (для языков C, C++, C#, R) или CourierNew (для языков/пакетовJava, Python, GNUOctave, MATLAB, Sage). |