Вычисление площадей образованных заметанием отрезка. Хуснутдинова Л.Б. Кафедра математики и методики обучения математики

• Название: Кафедра математики и методики обучения математики
• Анкор: Вычисление площадей образованных заметанием отрезка
• Дата: 29.03.2022
• Размер: 1.08 Mb.
• Имя файла: Хуснутдинова Л.Б.docx
• Тип: Исследовательская работа; #425871

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «ЮУрГГПУ»)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ОБРАЗОВАННЫХ ЗАМЕТАНИЕМ ОТРЕЗКА

Математика (исследовательская работа)

Автор: Хуснутдинова Лилия Биктимировна,
Научный руководитель:

Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент,

Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет

Челябинск, 2019

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее временя задачи на вычисление площадей образованных заметанием отрезка относится к довольно узкой олимпиадной тематике. Они встречаются в математических сборниках профильного уровня, на вступительных экзаменах, например, в ЮУрГУ, а задачи повышенной трудности встречаются на национальных и международных олимпиадах.

При этом нужно отметить, что теоретического материала по данной теме ограниченное количество. А формулировок для данного типа задач может быть огромное количество. Этим определяется актуальность нашей темы.

В работе была поставлена следующая цель: исследовать понятия эвольвенты и заметания, а так же различные методы решения задач на заметание отрезком, выявить зависимость между длиной отрезка и площадью заметаемой фигуры.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) Изучить теоретический материал по теме эвольвента и заметание отрезком, на основе анализа и систематизировать материал по проблеме;

2) Предложить способ вычисления заметаемых отрезком фигур;

3) Описать действия для решения задачи на нахождение площади заметаемой отрезком фигуры.

1. 
   
   

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 2

1.АНАЛИЗ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ЭВОЛЬВЕНТА И ЗАМЕТАНИЕ ОТРЕЗКОМ 4

6

Рис. 2. Построение завитков: а — двухцентровый завиток; б — эвольвента квадрата 6

6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

1.АНАЛИЗ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ЭВОЛЬВЕНТА И ЗАМЕТАНИЕ ОТРЕЗКОМ

Эвольвентойокружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности:





{\displaystyle y=r\sin \phi -r\phi \cos \phi \,\!,}где  {\displaystyle r}  — радиус окружности; {\displaystyle \phi }  — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).

Натуральное уравнение эвольвенты окружности, т.е. зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: {\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.} .



Рис. 1.  Эвольвента окружности

Коробовой или центровойлинией называется составная плавная кривая, состоящая из последовательного ряда дуг окружностей с разными радиусами. В вершинах коробовой линии (точках стыка) может быть проведена только одна касательная.

Примером коробовой кривой линии может быть линия, построенная путем сопряжения двух окружностей. Рассмотрим построение некоторых коробовых линий.

Эвольвента многоугольника.

В некоторых случаях эвольвенту окружности аппроксимируют коробовой линией, получаемой при замене окружности многоугольником. Эту кривую называют эвольвентой многоугольника или завитком, а сам многоугольник — «глазком». Получается кривая, приближающаяся по форме к спирали, но выполняемая дугами окружностей.

На рис. 2(а) построен простейший двухцентровый завиток, образуемый "развертыванием" отрезка О₁О₂ длиной а. Из центра О₁ радиусом R₁=а проводим полуокружность. Затем из центра О₂ описываем следующую полуокружность радиусом R₂=2а. Далее снова из центра О₁ радиусом R₃=3а проводим следующую полуокружность и т. д. Точки сопряжений 10, 20, 30, ... дуг завитка находятся на прямой, соединяющей центры окружностей

Рис. 2. Построение завитков: а — двухцентровый завиток; б — эвольвента квадрата
На рис.11.45( б) дано построение эвольвенты квадрата (четырехцентрового завитка) со стороной, равной а. Центры дуг окружностей лежат в вершинах квадрата О₁, О₂, О₃, ..., а их радиусы соответственно равны R₁=а, R₂=2а, R₃ =3а... .

Заметающая прямая — это вспомогательный объект, представляющий собой вертикальную прямую линию. 

Метод заметающей прямой (метод выметания) является одним из основных методов вычислительной геометрии.

Идея метода состоит в переходе от двумерного пространства к произведению (одномерное) пространство-время. После этого отрезки становятся точками, движущимися по прямой, и их можно упорядочивать.


2. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОЛУЧЕННЫХ ЗАМЕТАНИЕМ ОТРЕЗКА

Задача 1. К круглой силосной башне радиуса привязана корова. Длина верёвки равно половине длины окружности башни. Найдите площадь выпаса.

Решение:







, верёвка является радиусом полукруга 1.



Части выпаса 2 и 3 ограничены эвольвентами окружности. Найдём площадь фигуры, ограниченной одной из эвольвент и прямой

Параметрическое уравнение эвольвенты:





угол поворота радиуса откружности

Ответ:

Задача 2. Коза – животное прожорливое. Она ест всю траву, до которой может дотянуться. Поэтому козу держат на привязи. Прожорливость козы издревле используется в ландшафтном дизайне.

1. Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная веревкой

a) к одиноко стоящему на лугу колышку;

б) к натянутой между двумя колышками веревке, вдоль которой свободно передвигается еще одна веревка?



Испокон веков козу привязывают только комбинациями описанных выше способов. Общеизвестно, что коза - животное бесконечно хитрое: она в верёвках никогда не путается, ловко отодвигая их копытцами и поддевая рогами. . . А никаких заборов и преград использовать нельзя.

2. Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза. Какой вид имеет область, где может пастись коза? Нарисуй эту область для случаев, когда длина верёвки равна:

а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам.

3. Петрович привязал к себе козу верёвкой длины 1 метр, и ходит по одной из следующих

траекторий. Какую фигуру выест коза, если траектория имеет вид: а) окружности радиуса 5; б) прямоугольника 3 × 4;. в) креста (длина 6, ширина 4).

4. Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная двумя веревками длиной 2 м каждая к двум одиноко стоящим колышкам, находящимся друг от друга на расстоянии: а) 2 метра; б) 4 метра.

5. Привязывать козу можно либо к колышкам, либо к горизонтальной палке. Как привязать с помощью веревок козу так, чтобы она съела всю траву на участке в форме:

a) полукруга;

б) квадрат;

в) прямоугольник размером 7 × 17;

г) правильный треугольник;

д) фигуры, изображенной на рисунке 1;

е) фигуры, изображенной на рисунке 2;

ж) правильного шестиугольника.

6. Введём в действие собак: будем привязывать их к колышкам, а они будут мешать козе есть (то есть козе нельзя находиться в зоне действия собак). а) Как одной собакой удержать козу в кольце? б) А как – в полукруге? в) в фигуре, изображенной на рисунке 3?

7. а) Один конец шеста длиной 4 метра прикреплен к столбу и свободно вокруг него вращается. К другому концу шеста веревкой длиной 1 метр привязана коза. Какую фигуру выест коза? А если веревка имеет длину 5 метров?

б) А если веревку заменить шестом соответствующей длины?

8*. Государственная Дума приняла закон, по которому коза имеет право есть травинку только в том случае, когда все веревки, которыми она привязана, находятся в натянутом состоянии. Как привязать козу, чтобы она выела произвольный выпуклый многоугольник?

Рассмотрим подробнее второй пункт задачи 2, дополним вопросами и выполним решение.

Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза. Какой вид имеет область, где может пастись коза?

1. Нарисуй эту область для случаев, когда длина верёвки равна:

а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам.

2. Найдите площадь выпаса.

3. При каком расположении площадь выпаса будет наибольшей?

		1 случай		2 случай
п.1	а
	б
	в
п.2	а
	б
	в	Вычисление в данном случае сводится к решению тригонометрическим методом.
п.3		Очевидно, что при расположении 2м способом площадь выпаса будет больше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализируя достаточно большое количество разнообразных источников [1-5] (книги, журнальные статьи, тематические сайты в Интернете) мы убедились, материала по теме «Нахождение площадей образованных заметанием отрезка» достаточно мало, и он изложен сложным математическим языком.

При выполнении работы были получены следующие результаты:

1) Исследовали и представили способ решения задач на нахождение площадей образованных заметанием отрезка.

2) Самостоятельно составили новые задачи на нахождение площадей образованных заметанием отрезка.

Поэтому, цели работы были достигнуты. Мы получили и новые теоретические результаты, и применили их для решения задач. Результаты нашей работы можно использовать, как и на уроках математики, так и для исследования и решения более сложных задач, основанных на заметании отрезка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Эвнин, А. Ю. Математический конкурс ЮУрГУ / А. Ю. Эвнин. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ 2012 – 86с.
   
2. 
   Эвнин, А. Ю. Сто пятьдесят красивых задач для будущих математиков. – М.: КРАСАНД. 2014, - 224с.
   
3. 
   Эвнин, А. Ю. 150 красивых задач для будущих математиков. // Математика в школе. – 2014. №9. – С. 69-72.
   
4. 
   Центр математического творчества // cmt.teacher.msu.ru
   
5. 
   Файловый архив студентов: https://studfiles.net/preview/6831285/page:62