Расчетно-графическое задание по кинематике. Работа_2RGR___. Кинематика движения точки и твердого тела

• Название: Кинематика движения точки и твердого тела
• Анкор: Расчетно-графическое задание по кинематике
• Дата: 18.06.2022
• Размер: 5.67 Mb.
• Имя файла: Работа_2RGR___.doc
• Тип: Задача; #601139

Расчетно-графическое задание по кинематике
РГР-2


КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Группа
Студент
Оценка работы
Дата
Преподаватель Леготин Сергей Дмитриевич


МОСКВА 2015г.

Задача 1
По данным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t₁ найти положение точки на траектории (х₁ (м), y₁ (м)); её скорость V (м/c) , полное, касательное и нормальное ускорения ( a (м/c²); a_τ (м/c²); a_n (м/c²) ), а так же радиус кривизны траектории в данной точке (p(м)).
Вариант задания: К – 12, С – 19.
В - 31
Задание по варианту
x = -2*t² +3 (м); y = -5*t (м); t₁ = 0,5 (c)
Найти:

х₁ (м), y₁ (м); V (м/c); a (м/c²); a_τ (м/c²); a_n (м/c²); p(м);

Решение
Получим уравнение траектории:

Установим вид уравнения, связывающего функции хи у, по которому судят о траектории движения точки. Выразим из одного уравнения tи подставим в другое. Из второго уравнения:

t = -y/5

Подставим это значение в первое уравнение:

x = -2*y²/25 + 3

Уравнение траектории:

y = √25*(3-х)/2

Полученное уравнение траектории – это уравнение параболы, проходящей через точки с координатами (0; 6,1) и (3; 0).

Подставим значение t₀, t₀ = 0 с, в параметрические уравнения х и у:

x₀= -2*0² +3= 3

y₀= -5*0 = 0

Т.е. точка начала движения – (3; 0)

Подставим значение t₁ в параметрические уравнения х и у:

x₁= -2*0,5² +3 = 2,5

y₁= -5*0,5 = -2,5

Т.е. через 0,5 секунду точка имела координаты (2,5; -2,5)

Таким образом, точка движется по параболе снизу вверх (по направлению стрелки на рисунке).



Скорость

V²=V_x2+V_y2 ,

где V – полная скорость, а Vx и Vy проекции вектора полной скорости на оси Ох и Оy соответственно;

;

V_x=d(-2*t²+3)/dt

V_y=d(-5*t)/dt

V_x = -4t = -2 м/с, при t₁ = 0,5

V_y = -5 м/с

V² = (-5)² + (-2)² = 25+4 = 29

V = 5,4 м/с

Полное ускорение

a_x=d²x/dt²;

a_y=d²y/dy²

a²= a_x²+a_y²,

где а – полное ускорение, а а_x и а_y проекции вектора полного ускорения на оси Ох и Оy соответственно;

a_x = d(-4*t)/dt = -4

a_y = d(-5)/dt = 0

a²= a_x²+a_y²

a= √4²+0² = 4 м/c²

Касательное ускорение

a_τ = dV/dt;

V = √(16t²+25)

a_τ = d(√(16t²+25))/dt = 16t/(16t²+25); значит

a_τ = 0,28 м/c², при t₁ = 0,5

Нормальное ускорение

a_n²= a² – a_τ²

a_n ² = 4² – 0,28² = 16-0,08 = 15,92

a_n = 3,98 м/c²

Радиус кривизны траектории

p = V²/a_n

p =(5,4)² /3,98 = 7,3 м

Ответ:

Координаты точки в момент времени t₁ на траектории y = √25*(3-х)/2, t₁(2,5;-2,5)

Скорость точки равна V=5,4 м/с

Ускорение точки (полное) a=4 м/с²

Ускорение касательное a_τ= 0,28 м/с²

Ускорение нормальное a_n= 3,98 м/с²

Радиус кривизны: р = 7,3 м.

Задача 2
ДАНО. Движение груза 1 описывается выражением:

х = С2 • t2 + С1 • t + Со, где t - время в секундах; С0, С1, С2 - некие постоянные.

В начальный момент времени t0 = 0, начальная координата груза равна х=х0, а начальная скорость х0= V0. В момент времени t = t2 координата груза 1 равна х = х2 . Размеры шкивов 2 и 3 характеризуются радиусами R2, r2, R3, r3.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

• 
  уравнение движения груза 1 (x(t));
  
• 
  скорость и ускорение груза 1. в момент времени t = t₁ ( V₁, a₁ );
  
• 
  угловые скорости и угловые ускорения шкива 2 (ω₂ , ξ₂ ) и шкива 3 (ω₃ , ξ₃ )в момент времени t = t₁ ;
  
• 
  скорость, ускорение точки М (V_M, a_M) одного из шкивов механизма при t = t₁.
  

ПРИМЕЧАНИЕ: при отсутствии проскальзывания одного тела по поверхности другого соприкасающиеся точки этих тел имеют одинаковые скорости и касательные ускорения.

№ схемы механизма – 12




№ таблицы исходных данных - 7

№ вар.	Радиусы шкивов 2 и 3, м				Нач. условия		Координаты груза 1 при		Заданный момент времени
	R2	r2	R3	r3	x0, м	V0, м/с	t2, c	x2, м	t1, c
12	0,58	0,4	0,3	-	0.05	0.1	3	1,79	2

Решение

Заданный механизм представлен на рис.1(схема 12), уравнение движения груза 1 описывается выражением:
х = C₂t² + C₁t + С₂ .
В начальный момент времени t₀ начальная координата груза х₀, начальная скорость V₀ .
Итак:

• 
  груз 1 движется поступательно вниз;
  
• 
  шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси O₂z₂ (рис.2);
  
• 
  шкив 3 вращается вокруг неподвижной оси O₃z₃ (рис.2).
  

Уравнение движения груза 1
х = C₂t² + C₁t + С₂ (1)

Скорость груза 1 определим, продифференцировав закон движения по

времени:

V = x’ = 2 ^. C₂t + C₁ (2)

Касательное ускорение груза 1 определим, получив вторую производную от уравнения (2):
a _τ= V’= x’’ = 2^.C₂ = const (3)
Таким образом, ускорение не зависит от времени t. Следовательно, ускорение есть величина постоянная, а движение груза - равноускоренное. При движении по прямой нормальное ускорение отсутствует (a_n=0), поэтому полное ускорение груза определяется только касательной составляющей (a=a_τ).

• 
  Уравнение траектории движения груза
  

x=C₂t²+C₁t+C₀ (1);

V=x`=2C₂t+C₁ (2);

a=V`=2C₂=const (3);
t₀=0, x₀=0.05; подставляем в (1):

0.05 = C₂*0 + C₁*0 + C₀;

C₀=0.05;
подставляем t₀=0 в (2):

V₀=2C₂t₀+C₁; V₀=2C₂*0+C₁;

C₁=V₀=0.1;
t₂=3, x₂=1,79; подставляем в (1):

1,79=C₂*3²+0.1*3+0.05;

C₂=0.16;
Таким образом

x=0.16t²+0.1t+0.05
2) Скорость груза в момент времени t₁:

V₁=2С₂t₁+C₁;

V₁=2*0.16*2+0.1=0,74;

V₁=0,74 м/с;

Ускорение груза в момент времени t1:

a₁=2C₂=0.32 м/с²
3) Т.к. ремень нерастяжим, то V_Е=V₁, a^τ_E=a₁.

Угловая скорость шкива находится по формуле:

ω=V/R, где R – радиус шкива. (4)

Для шкива 2:

ω₂ = V_Е/R₂;

ω₂ = 0,74/0.58 = 1,28 рад/с;

Угловое ускорение находится по формуле

ξ = a^τ_E/r (5);

ξ₂ = a^τ_E/R₂;

ξ₂ = 0.32/0.58 = 0.55 рад/с.

Направление углового ускорения ε₂ соответствует направлению вектора касательного ускорения a_E^τ (против хода часовой стрелки) (рис.2);

Модуль скорости точки К

V_К = ω₂КО₂

где КО₂ - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения O₂ z₂.

V_K = ω₂r₂ = 1.28*0,4 = 0.512 м/с

Направлен вектор скорости V_К перпендикулярно к кратчайшему расстоянию КО₂ и соответствует направлению угловой скорости ω₂ (рис.2).

Касательное ускорение точки К

a_К^τ = ε₂КО₂ = ε₂r₂

a_К^τ = 0.55*0,4 = 0.22 м/с²

Направлен вектор касательного ускорения точки К перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки К до оси вращения, т. е. a_К^τ _|_КО₂ и соответствует направлению углового ускорения ε₂.

Так как ремень нерастяжимый, то

Для шкива 3:

ω₃=V_К/R₃=0.512/0,3 = 1,71 рад/c;

ξ₃=a_К^τ/R₃=0,22/0,3=0.733 рад/c²;

a_Mⁿ = ω₃²R₃=1,71²*0.3 = 0.88; - нормальное ускорение точки М, лежащей на шкиве 3

Модуль скорости точки M

V_M = ω₃ · MO₂

где КО₂ - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения O₂ z₂.

V_M = ω₃ · R₃ = 1.71 · 0,513 м/с

Направление углового ускорения ε 3 соответствует направлению вектора касательного ускорения a Mτ (против часовой стрелки) (рис.2).

Полное ускорение точки М есть векторная сумма двух ускорений

a_М = a_Мn + a_М^τ

Его величина:

a_М = (a_Мⁿ)² + (a_М^τ)²; a_М = 0.0484+ 0.7744= 0.823 м/с²

Направление вектора a_М показано на расчетной схеме (рис.2) диагональю прямоугольника, построенного на векторах нормального и касательного ускорения как на сторонах.

Так как вектор ускорения a₁ и вектор скорости V₁ груза 1 направлены в одну сторону и при этом ускорение есть величина постоянная, то груз 1, тела 2 и 3, а вместе с ними и точка М совершают равноускоренное движение.

ОТВЕТ. V _M = 0.513 м/с, a_М = 0.823 м/с²

V1 , м/c	a1, м/c2	ω2, рад/c	ξ2, рад/c2	ω3, рад/c	ξ3, рад/c2	VM, м/c	aM, м/c2
0.74	0.32	1.28	0.55	1.71	0.73	0.512	0.823