колебания. Колебания. Колебания. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Свободные (или собственные)

• Название: Колебания. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Свободные (или собственные)
• Анкор: колебания
• Дата: 24.12.2021
• Размер: 81.72 Kb.
• Имя файла: Колебания.docx
• Тип: Документы; #316319

Колебания.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

• 
  Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия. Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
  
• 
  Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид
  

x(t)=Asin(ωt+φ)

или

x(t)=Acos(ωt+φ),

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течение 2π секунд; (ωt+φ) — полная фаза колебаний, φ — начальная фаза колебаний.

• 
  Периодические колебания - колебания, повторяющиеся во времени с определенным интервалом времени.
  

Периодом периодических колебаний называется минимально время, через которое система возвращается в первоначальное состояние и начинается повторение процесса.

Процесс, происходящий за 1 период колебаний, называется «одно полное колебание».

Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени (1 секунду) — это может быть не целое число.



Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны  ).



где   - скорость распространения волны.

Периоды колебаний простейших физических систем:

Пружинный маятник

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

,

где   — масса груза,   — жёсткость пружины.

Математический маятник

Период малых колебаний математического маятника:



где   — длина подвеса (к примеру, нити),   — ускорение свободного падения.

Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью равен 2 секундам.

Физический маятник

Период малых колебаний физического маятника:



где   — момент инерции маятника относительно оси вращения,   — масса маятника,   — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник

Период колебаний крутильного маятника:



где   — момент инерции маятника относительно оси кручения, а   — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур

Период колебаний электрического колебательного контура (формула Томсона):

,

где   — индуктивность катушки,   — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик У. Томсон.

• 
  Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних
  

периодических сил.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:  .

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):



где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник - масса m, прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k, является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула



показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.

Физический маятник - в приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой



Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g, поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Математический маятник - представляющий собой механическую систему, состоящую изматериальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен:



и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

• 
  Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с некоторыми значениями (резонансными частотами), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренне (собственной) частотой колебательной системы.
  

В результате резонанса, при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:



где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).

Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах.

Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г. в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Струна

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, его частота зависит от скорости v, с которой волна распространяется по струне:



где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения T и массы на единицу длины ρ:



Таким образом, частота главного резонанса зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:



где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.

Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.

Электроника

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.
Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения



где  ; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.