Лабораторная работа №1.2 Подробная справка (1). Компьютерное представление чисел

• Название: Компьютерное представление чисел
• Дата: 22.02.2019
• Размер: 83 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа №1.2 Подробная справка (1).doc
• Тип: Документы; #68552

Компьютерное представление чисел

 

 Информация в памяти ЭВМ записывается в форме цифрового двоичного кода. С этой целью ЭВМ содержит большое количество ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное, записанное) для хранения двоичной информации. Ячейка – это часть памяти, вмещающая в себя информацию, доступную для обработки отдельной командой процессора. Наибольшую последовательность бит, которую компьютер может обрабатывать как единое целое (содержимое ячейки памяти), называют машинным словом.

Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (1 байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т.д. Адрес машинного слова в памяти компьютера равен адресу младшего байта, входящего в это слово.  Машинное  слово, состоящее из 16 бит (2-х байт) представлено на рис.1. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. Самый левый является старшим разрядом (на рисунке  с номером 15), самый правый – младшим (на рисунке с номером 0).

 

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0	1	1	0	1	1	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1
бит
байт								байт
Слово

                     Рис. 1. Бит, байт, слово

 

В вычислительной технике используются два  формата представления двоичных чисел:

-              с фиксированной запятой (точкой);

-              с плавающей запятой (точкой).

Формат с фиксированной запятой применяется к целым числам, формат с плавающей запятой  - к вещественным (действительным) числам.

 

  1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

 

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения.

Так в n-разрядной ячейке может храниться 2ⁿ различных значений целых чисел. Так в 8-разрядной ячейке может храниться 2⁸=256 различных значений, в 16-разрядной – 2¹⁶=65536 различных значений.

Целые числа могут представляться в компьютере без знака и со знаком.

  

Целые числа без знака. Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. Максимальное значение целого числа без знака (положительного числа) достигается в случае, когда во всех ячейках  хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно .Для 8-разрядной ячейки максимальное значение целого положительного числа достигается в  случае, когда во всех ячейках хранятся единицы и равно. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Следовательно, в 8-разрядной ячейке диапазон изменения целых  чисел без знака: от 0 до 255. В 16-разрядной ячейке - от 0 до 65535 (всего 65536 значений).

Так, число 11100001₂ будет храниться в 8-разрядной ячейке памяти следующим образом:

1

1

1

0

0

0

0

1

 

В 16-разрядном представлении число 2006₁₀=11111010110₂ будет храниться следующим образом:

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

 

   Итак, чтобы получить внутреннее представление целого числа без знака А, хранящегося в n-разрядном машинном слове, необходимо:

1)   перевести число А в двоичную систему счисления;

2)   полученный результат дополнить слева незначащими нулями до n разрядов.

   

Целые числа со  знаком: прямой, обратный и дополнительный коды.Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта.  Для хранения целых чисел со знаком старший (левый) разряд в машинном слове отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается ноль, если число отрицательное – единица). Ровно половина из всех 2ⁿ  чисел будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше.

  

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно -1. Минимальное отрицательное  число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно -.

  

Диапазоны значений целых чисел со знаком:

         в 8-разрядной ячейке: от -128 до 127;

         в 16-разрядной ячейке: от -32 768 до 32 767;

         в 32-разрядной ячейке: от -2 147 483 648 до 2 147 483 647.

   Для представления отрицательного числа используется дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

   Прямой код целого положительного числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют необходимым количеством нулей в соответствии с разрядностью машинного слова. Например, прямой код числа 37₁₀=100101₂ в 16-разрядной ячейке будет иметь вид 0000000000100101.

   Для записи внутреннего представления целого число со знаком (-А) необходимо:

1)   модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах;

2)     получить обратный код числа, для этого значения всех  бит инвертировать – все единицы заменить на нули  и все нули заменить на единицы);

3)  к полученному обратному коду прибавить единицу. Получим дополнительный код целого числа со знаком.

 

   Например, внутреннее представление целого отрицательного числа -1607 в 16-разрядной ячейке запишется следующим образом: 1111 1001 1011 1001. Так как:

1)     а) -1607=1607₁₀=11001000111₂

   б) прямой код в 16-разрядной ячейке:

          0000 0110 0100 0111

2)  обратный код:

          1111 1001 1011 1000

   3) дополнительный код (результат прибавления 1):

           1111 1001 1011 1001 – это внутренне двоичное представление числа (-1607).

 

 3.2. Представление вещественных  чисел в формате  с плавающей запятой

 

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

А=m x q^p

   Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х10³. Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная  в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976х10¹ = 1,3976х10² = 0,013976х10⁴ = 13976 х10^-2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

0.1_q  m< 1_q ,

то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10³.

   В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.

   Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

 маш. порядок

М   А   Н

Т   И   С

С  А

 

   1-й байт                        2-й байт            3-й байт               4-й байт      

 

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

   Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

 

Машинный порядок	0	1	2	3	…	64	65	…	125	126	127
Математический порядок	-64	-63	-62	-61	…	0	1	…	61	62	63

 

Если обозначить машинный порядок М_q, а математический q, то связь между ними выразится формулой:

М_{q =} q + 64

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:

М_{q =} q + 1000000₂

 

При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1)      Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2)      Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;

3)      Определить машинный порядок с учетом смещения;

4)      Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.

 

Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:

1)   Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами:

139,76₁₀ = 10001011,1100001010001111₂

    

 2) Запишем полученное двоичное число в форме   нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

10001011,1100001010001111₂ = 0,100010111100001010001111₂ х10¹⁰⁰⁰,    

  где 0,100010111100001010001111₂ – мантисса;

     10 – основание системы счисления      (2₁₀=10₂);

     1000 – порядок (8₁₀=1000₂).

  

3)  Определим машинный порядок:

Mq₂ = 1000 + 1000000 = 1001000

4)     Запишем представление числа в ячейке памяти:

01001000

10001011

11000010

10001111

 

Для того чтобы получить внутренне представление отрицательного числа -139,76₁₀  достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.

 

1. 
   Определить диапазон представления целых чисел без знака в формате с фикс. запятой.
   

• 
  8 бит: 0…2⁸–1 = 0…255
  

2. 
   Определить диапазон представления целых чисел со знаком в формате с фикс. запятой.
   

• 
  8 бит: –2⁷…–1 0…+2⁷–1 = –128…+127
  

3. 
   Определить диапазон представления вещественных чисел в формате с плавающей запятой
   

• 
  32 бита (8 бит порядок, 24 бита мантисса):
  
  12^{–(2^7–2)}…22^{+(2^7–1)} = 2^–126…2⁺¹²⁸ = 1,110^–38…3,410⁺³⁸
  
• 
  (11 бит порядок, 53 бита мантисса):
  
  12^{–(2^10–2)}…22^{+(2^10–1)} = 2^–1022…2⁺¹⁰²⁴ = 2,210^–308…1,710⁺³⁸
  
• 
  (15 бит порядок, 65 бита мантисса):
  
  12^{–(2^14–2)}…22^{+(2^14–1)} = 2^–16.382…2^+16.384 = 3,310^–4932…1,110⁺⁴⁹³²
  

значения 1.000…2^111… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения .

значения +1.000…2^000… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения 0.

значения –1.000…2^000… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения –0.

значения +1.xxx…2^111… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения NaN.

4. 
   Представить числа в формате целого числа с фиксированной запятой 8 бит:
   

• 
  +63: прямой код – [0011 1111]
  
• 
  –63: обратный код – [1100 0000], дополнительный код – [1100 0001].
  

5. 
   Записать числа по их внутреннему представлению в ЭВМ в десятичной системе счисления:
   

• 
  [0111 1110] прямой код [0111 1110₂] = +126
  
• 
  [1100 0000] дополнительный код [0011 1111+1] = [0100 0000₂] = –64
  

6. 
   Сложить два числа в дополнительном восьмиразрядном двоичном коде:
   

• 
  30 и –13
  
  +30: прямой код – [0001 1110],
  
  –13: прямой код – [0000 1101], обратный код – [1111 0010], дополн. код – [1111 0011].
  
  прямой код – [0001 0001] = 17₁₀
  

7. 
   Представить числа +127,125 и –127,125 в формате вещественного числа с плавающей запятой 32 бита.
   
   Структура представления чисел в ЭВМ:
   
   
   

• 
  +125,125: прямой код 111 1101,001 = 1,1111 0100 12⁶,
  
  смещенный порядок 6+(2⁷–1) = 6+127 = 133 = 1000 0101₂
  

8. 
   Записать число в десятичной системе счисления по его внутреннему представлению в ЭВМ:
   

• 
  01000010011111111000000000000000
  

0 10000100 11111111000000000000000



Смещенный порядок – [10000100₂] = [132₁₀], несмещенный порядок – [132-127] = [+5].

Число – [+1,1111 11112⁺⁵] = [+111111,111₂] = [63,875₁₀].