Кр. кр 1 вар 1. Контрольная работа 1 Задание 1 а Вычислите матрицу A б найдите матрицу, обратную к матрице a

• Название: Контрольная работа 1 Задание 1 а Вычислите матрицу A б найдите матрицу, обратную к матрице a
• Дата: 07.05.2023
• Размер: 288.79 Kb.
• Имя файла: кр 1 вар 1.docx
• Тип: Контрольная работа; #1113796

Контрольная работа №1

Задание 1 а) Вычислите матрицу A; б) найдите матрицу, обратную к матрице A .



Решение: а) Вычислите матрицу A

1. 
   Выполним умножение матриц:
   

2. 
   
   
3. 
   
   

б) Найдем обратную матрицу, к матрице А.

, где ∆- определитель матрицы А, – присоединённая матрица.

1. 
   обратная матрица существует.
   
2. 
   Транспонируем матрицу А
   

3. 
   Найдём алгебраические дополнения транспонированной матрицы
   

4. 
   
   

Задание 2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы



Решение:

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, составим расширенную матрицу системы:



Согласно алгоритму Гаусса будем приводить эту матрицу к треугольному виду





система имеет единственное решение.



Решим систему по правилу Крамера:












Решим систему методом обратной матрицы:



Найдем обратную матрицу, к матрице А.

,

обратная матрица существует.

Транспонируем матрицу А



Найдём алгебраические дополнения транспонированной матрицы





















Найдем решение:





Задание 3

Даны точки A, B, C на плоскости.

№ Варианта	А		В		С
1	3	10	2	6		7	7

Решение:

a) Найдём уравнение прямой, проходящей через две точки:
































Составим параметрические уравнения данной прямой:



b) Найдем длину отрезка





c) Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку C. СН – искомая прямая.







Уравнение прямой, проходящей через точку и направляющий вектор:







уравнение прямой СН

d) Найдем уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C. СМ искомая прямая











уравнение прямой СМ

e) Найдем длину перпендикуляра, опущенного на прямую AB из точки C.

Уравнение прямой





f) Найдите косинус угла ACB.






g) Найдем площадь треугольника ABC.




Задание 4

Дана кривая второго порядка.



Решение:

1. 
   Приведём кривую второго порядка к каноническому виду.
   

Выделяем полные квадраты















(5;8) центр симметрии, a=4, b=5. Т.к. b>a

2. 
   Найдем эксцентриситет кривой.
   

3. 
   Найдите уравнения директрис.
   

4. 
   Найдем координаты фокусов кривой.
   

5. 
   Асимптот нет
   
6. 
   Чертёж.
   

Задание 5

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.







Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное по формуле:






Разложим на множители

















Применим второй замечательный предел:

Пусть






Задание 6

Задана функция . Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертеж.



Решение:

1. 
   При
   

Проверим выполнение равенства:









3=3=3, значит х=-1 не является точкой разрыва.

2. 
   При
   

Проверим выполнение равенства:









, значит х=1 является точкой разрыва.