Матем кр. 5338725 вар 5 КР. Контрольная работа 2 интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения первого порядка задание найти неопределенные интегралы

• Название: Контрольная работа 2 интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения первого порядка задание найти неопределенные интегралы
• Анкор: Матем кр
• Дата: 13.04.2023
• Размер: 366 Kb.
• Имя файла: 5338725 вар 5 КР.doc
• Тип: Контрольная работа; #1060128

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

ЗАДАНИЕ 1. Найти неопределенные интегралы.

1.



2.



3.



4.







5.



6.



7.



8.



ЗАДАНИЕ 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.



Следовательно, интеграл расходится.

ЗАДАНИЕ 3. В декартовой системе координат построить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Найти площадь фигуры.



Решение.

- парабола, ветви направлены вверх, - вершина,

- точка пересечения с осью .

- парабола, ветви направлены вправо, - вершина.

Найдем точки пересечения парабол:





Следовательно, - точки пересечения параболы.

Выполним чертеж.



Вычислим площадь:



ЗАДАНИЕ 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями. Построить чертеж.



Решение.

- парабола, ветви направлены вниз, - вершина,

- точки пересечения с осями координат.

Выполним чертеж плоской фигуры.



Вычислим объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси :



ЗАДАНИЕ 5. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.

.

Решение.

Вычислим интеграл непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница:



Разобьем интервал интегрирования на частей, тогда

, , .

Вычисления проведем с четырьмя знаками после запятой и сведем в таблицу:

0	0	0.3750
1	0.1	0.3239
2	0.2	0.2817
3	0.3	0.2466
4	0.4	0.2170
5	0.5	0.1920
6	0.6	0.1707
7	0.7	0.1524
8	0.8	0.1367
9	0.9	0.1230
10	1	0.1111

Применим формулу левых прямоугольников:

.

Подставляя найденные значения, получим:



Применим формулу правых прямоугольников:

.

Подставляя найденные значения, получим:



За окончательное значение интеграла примем среднее арифметическое значений и :



Найдем абсолютную погрешность вычислений:

, где - точное значение, - приближенное значение.

Получим:

.

Найдем относительную погрешность вычислений:

, где - точное значение, - абсолютная погрешность.

Получим:



Вывод: значение интеграла, вычисленное по формуле прямоугольников, дает ошибку при вычислении, не превышающую 1%, т.е. является вполне приемлемым; для достижения лучшего результата следует увеличить число частей разбиения или использовать формулы трапеций или Симпсона.

ЗАДАНИЕ 6. Определить, является ли функция решением дифференциального уравнения.



_{Решение.}

Вычислим производную данной функции:



Найденную производную и саму функцию подставим в исходное уравнение:



Получено верное равенство, следовательно, данная функция является решением данного дифференциального уравнения.

ЗАДАНИЕ 7. Найти общее решение дифференциального уравнения. Найти частное решение по заданным начальным условиям. Используя полученное частное решение, построить интегральную кривую – линию , проходящую через точку .



_{Решение.}

Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:



Проинтегрируем обе части:


Тогда общее решение имеет вид:

.

Общее решение на плоскости ‒ это семейство прямых, проходящих через точку с координатами . Эти прямые имеют различные углы наклона в зависимости от константы .

Для частного решения найдем значение неопределенной константы, используя начальные условия ‒ координаты точки :



Подставив найденное значение:



Тогда частное решение имеет вид:

 это прямая, которая пересекает оси координат в точках и и проходит через точку , координаты которой соответствуют начальным условиям.

По полученным значениям координат точек построим интегральную кривую.



ЗАДАНИЕ 8. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

1) .

Решение.

Уравнение имеет вид , следовательно, это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Решение будем искать в виде , тогда .

Подставив в уравнение, получим:



Пусть , тогда .

Получим систему уравнений с разделяющимися переменными:



Решим систему.

1)



2)



Тогда , откуда - общее решение.

2) .

Решение.

Приведем уравнение к стандартному виду.



Общий вид уравнения определяется выражением ‒ это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Пусть , тогда , .

Подставляя в уравнение, получим:



Проинтегрируем обе части:





Так как , то получим общий интеграл: