контрольная работа Компьютерные технологии и проектирование «. компьютерные технологии. Контрольная работа по дисциплине Компьютерные технологии и проектирование На темам 10
 Скачать 26.81 Kb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮТЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МИЧУРИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Инженерный институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине» Компьютерные технологии и проектирование « На темам: «10»,»14» Обучающегося 2 курса Направления 20.03.01 Техносферная безопасность. (заочная форма обучения) Горяева Артема Юрьевича. (ФИО) Шифр 201960 Проверил: Колдин М.С. Мичуринск-наукоград,2022 10. Использование метода конечных элементов. Основные типы конечных элементов. 1.Точное аналитическое решение возможно только для очень ограниченного круга задач теории упругости. Поэтому для инженерной практики огромное значение имеют приближенные методы. Важность этих методов особенно возрастает в связи с активным внедрением в теорию и практику проектирования вычислительной техники и новейших информационных технологий. 2. Характерной особенностью метода конечных элементов, относящегося к так называемым прямым методам, является то, что процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле (таких как перемещения, напряжения, силы) строятся на основе вариационных принципов механики упругого тела без непосредственного использования дифференциальных уравнений. Заметим, что в настоящее время МКЭ является самым эффективным прямым методом приближенного решения прикладных задач механики. Практическое использование этого метода во многом зависит от уровня развития компьютерной техники и качества программного обеспечения, реализующего этот метод. Программное обеспечение для решения задач методом МКЭ должно включать в себя следующие элементы: редактор разбивки на конечные элементы, ядро, непосредственно обеспечивающее решение, и визуализатор для демонстрации полученных результатов. Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационноразностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т.е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях. Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности задач о течении жидкости в пористой среде. Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галѐркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию компьютерной техники. Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что любая непрерывная величина (температура, давление, перемещение) аппроксимируется дискретной моделью, построение которой выполняется на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Алгоритм построения дискретной модели изучаемой непрерывной величины заключается в следующем: В рассматриваемой области фиксируют конечное число точек. Эти точки в дальнейшем называют узлами. Полагают, что исследуемая непрерывная величина в каждом узле является переменной, подлежащей определению в процессе решения задачи. Область изменения непрерывной величины разбивают на элементы. Эти элементы имеют между собой общие узлы и, в совокупности, аппроксимируют форму области в целом. Непрерывную величину аппроксимируют в пределах каждого элемента полиномом, коэффициенты которого рассчитывают на основании значений этой величины в узлах. Каждый элемент аппроксимируют своим полиномом, а коэффициенты полиномов подбирают таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ соседних элементов. Основная концепция МКЭ может быть наглядно проиллюстрирована на одномерном примере растяжения стержня длины L вдоль его оси, показанном на рисунке 1. Рассматривается непрерывная величина U(x) - перемещение точек стержня вдоль оси x. Область определения U(x) – отрезок OL вдоль оси x. Зафиксируем на оси x пять точек: x1, x2, x3, x4, x5. Это узловые точки; совсем не обязательно располагать их на равном расстоянии друг от друга. Распределение перемещений U(x) заранее неизвестно. В процессе решения задачи необходимо определить значения перемещения U1, ..., U5 в каждой узловой точке. Для этого выполним описанные выше этапы построения дискретной модели. Разобьем область на элементы, на каждом из которых определим соответствующую функцию элемента. Узловые значения U1, ..., U5 функции U(x) должны быть "отрегулированы" таким образом, чтобы обеспечивалось "наилучшее" приближение к истинному распределению перемещений. Это "регулирование" выполняется путем минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. В нашем случае рассматривается задача растяжения тела, а минимизируемый функционал связан с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации в конечном итоге сводится к решению систем линейных уравнений относительно узловых значений U1, ..., U5 функции U(x). Метод конечных элементов при прочностных расчетах (МКЭ) В основе этого метода лежит представление объекта исследования в виде набора некоторых простых с геометрической точки зрения фигур, называемых конечными элементами, взаимодействующими между собой только в узлах. Расположенные определенным образом (в зависимости от конструкции объекта) и закрепленные в соответствии с граничными условиями конечные элементы, форма которых определяется особенностями моделируемого объекта, позволяют описать все многообразие механических конструкций и деталей. Например, плоскую ферменную конструкцию можно смоделировать набором плоских стержневых фигур, рамную - набором объемных стержневых элементов, различного рода пластины и оболочки - множеством плоских треугольников или прямоугольников. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм, и т. д. Рамные конструкции, как правило, моделируются набором стержневых конечных элементов. Различного рода пластины и оболочки удобно моделировать набором плоских треугольных, либо прямоугольных элементов, а в отдельных случаях и набором более сложных элементов. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм. Такое представление рассматриваемого объекта позволяет решать задачи расчета напряженного и деформированного состояний тела, устойчивости и динамики, нахождения частот и амплитуд собственных и вынужденных колебаний. Кроме того, МКЭ можно с успехом использовать для решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности, расчета полей статического электричества и скоростей безвихревого течения жидкости, и т. д. Область применения МКЭ. В настоящее время МКЭ получил глубокие теоретические обоснования и применяется для решения весьма широкого круга задач, например: • стационарные задачи распространения тепла , диффузии, распределения электрического поля, другие задачи теории поля; задачи гидромеханики, в частности, течение жидкости в пористой среде; задачи механики и прочности, в т.ч. проектирование самолётов, ракет и различных пространственных оболочек; и др. Для того чтобы понять сущность метода конечных элементов, рассмотрим одномерный перенос тепла в стержне. Одномерный перенос тепла в стержне Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения. Разделим его на некоторое количество одинаковых конечных элементов и будем рассматривать один из них (рисунок 1). Рисунок 1 – Элемент стержня круглого поперечного сечения. Каждый элемент имеет длину l и площадь поперечного сечения S. Предположим, что подвод тепла к элементу отсутствует, то есть 𝑞 𝑎 = 0. Будем считать, что на торцах выбранного элемента присутствует тепловой поток 𝑞 𝑠 , при этом боковая поверхность Sбок предполагается теплоизолированной. Направим ось координат вдоль стержня от 1 к 2. Будем считать, что на концах стержня поддерживается постоянная температура 𝑇1 𝑒 , 𝑇2 𝑒 . При этом вдоль стержня она изменяется по линейному закону 𝑇 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥, где х – координата вдоль оси стержня. Далее получаем, что 𝑇 0 = 𝑎1 = 𝑇1 𝑒 , 𝑇 𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑙 = 𝑇2 𝑒 . Из этих выражений следует, что 𝑎1 = 𝑇1 𝑒 , 𝑎2 = 𝑇2 𝑒−𝑇1 𝑒 𝑙 𝑎1 . Тогда получим 𝑇 𝑥 = 𝑇1 𝑒 + 𝑇2 𝑒−𝑇1 𝑒 𝑙 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑙 𝑇1 𝑒 + 𝑥 𝑙 𝑇2 𝑒 = 𝑁1 𝑥 𝑇1 𝑒 + 𝑁2 𝑥 𝑇2 𝑒 . Функции 𝑁1 ,𝑁2 являются одномерными линейными функциями формы. Для них справедливо, что в узле 1 𝑁1 = 1, 𝑁1 = 0 и наоборот. Более того, они имеют свойство полноты, то есть при любых значениях х выполняется следующее равенство 𝑁1 + 𝑁2 = 1. 14 Запишем функции формы в виде матрицы, то есть матрица формы для одномерного линейного элемента в нашем случае примет вид 𝑁 = 1 − 𝑥 𝑙 𝑥 𝑙 . Тогда изменение температуры вдоль оси элемента можно записать в виде произведения матрицы на столбец𝑇 𝑥 = 𝑁 {𝑇 𝑒 }, где 𝑇 𝑒 = 𝑇1 𝑒 𝑇2 𝑒 . 1.Точное аналитическое решение возможно только для очень ограниченного круга задач теории упругости. Поэтому для инженерной практики огромное значение имеют приближенные методы. Важность этих методов особенно возрастает в связи с активным внедрением в теорию и практику проектирования вычислительной техники и новейших информационных технологий. 2. Характерной особенностью метода конечных элементов, относящегося к так называемым прямым методам, является то, что процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле (таких как перемещения, напряжения, силы) строятся на основе вариационных принципов механики упругого тела без непосредственного использования дифференциальных уравнений. Заметим, что в настоящее время МКЭ является самым эффективным прямым методом приближенного решения прикладных задач механики. Практическое использование этого метода во многом зависит от уровня развития компьютерной техники и качества программного обеспечения, реализующего этот метод. Программное обеспечение для решения задач методом МКЭ должно включать в себя следующие элементы: редактор разбивки на конечные элементы, ядро, непосредственно обеспечивающее решение, и визуализатор для демонстрации полученных результатов. Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационноразностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т.е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях. Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности задач о течении жидкости в пористой среде. Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галѐркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию компьютерной техники. Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что любая непрерывная величина (температура, давление, перемещение) аппроксимируется дискретной моделью, построение которой выполняется на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Алгоритм построения дискретной модели изучаемой непрерывной величины заключается в следующем: В рассматриваемой области фиксируют конечное число точек. Эти точки в дальнейшем называют узлами. Полагают, что исследуемая непрерывная величина в каждом узле является переменной, подлежащей определению в процессе решения задачи. Область изменения непрерывной величины разбивают на элементы. Эти элементы имеют между собой общие узлы и, в совокупности, аппроксимируют форму области в целом. Непрерывную величину аппроксимируют в пределах каждого элемента полиномом, коэффициенты которого рассчитывают на основании значений этой величины в узлах. Каждый элемент аппроксимируют своим полиномом, а коэффициенты полиномов подбирают таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ соседних элементов. Основная концепция МКЭ может быть наглядно проиллюстрирована на одномерном примере растяжения стержня длины L вдоль его оси, показанном на рисунке 1. Рассматривается непрерывная величина U(x) - перемещение точек стержня вдоль оси x. Область определения U(x) – отрезок OL вдоль оси x. Зафиксируем на оси x пять точек: x1, x2, x3, x4, x5. Это узловые точки; совсем не обязательно располагать их на равном расстоянии друг от друга. Распределение перемещений U(x) заранее неизвестно. В процессе решения задачи необходимо определить значения перемещения U1, ..., U5 в каждой узловой точке. Для этого выполним описанные выше этапы построения дискретной модели. Разобьем область на элементы, на каждом из которых определим соответствующую функцию элемента. Узловые значения U1, ..., U5 функции U(x) должны быть "отрегулированы" таким образом, чтобы обеспечивалось "наилучшее" приближение к истинному распределению перемещений. Это "регулирование" выполняется путем минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. В нашем случае рассматривается задача растяжения тела, а минимизируемый функционал связан с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации в конечном итоге сводится к решению систем линейных уравнений относительно узловых значений U1, ..., U5 функции U(x). Метод конечных элементов при прочностных расчетах (МКЭ) В основе этого метода лежит представление объекта исследования в виде набора некоторых простых с геометрической точки зрения фигур, называемых конечными элементами, взаимодействующими между собой только в узлах. Расположенные определенным образом (в зависимости от конструкции объекта) и закрепленные в соответствии с граничными условиями конечные элементы, форма которых определяется особенностями моделируемого объекта, позволяют описать все многообразие механических конструкций и деталей. Например, плоскую ферменную конструкцию можно смоделировать набором плоских стержневых фигур, рамную - набором объемных стержневых элементов, различного рода пластины и оболочки - множеством плоских треугольников или прямоугольников. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм, и т. д. Рамные конструкции, как правило, моделируются набором стержневых конечных элементов. Различного рода пластины и оболочки удобно моделировать набором плоских треугольных, либо прямоугольных элементов, а в отдельных случаях и набором более сложных элементов. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм. Такое представление рассматриваемого объекта позволяет решать задачи расчета напряженного и деформированного состояний тела, устойчивости и динамики, нахождения частот и амплитуд собственных и вынужденных колебаний. Кроме того, МКЭ можно с успехом использовать для решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности, расчета полей статического электричества и скоростей безвихревого течения жидкости, и т. д. Область применения МКЭ. В настоящее время МКЭ получил глубокие теоретические обоснования и применяется для решения весьма широкого круга задач, например: • стационарные задачи распространения тепла , диффузии, распределения электрического поля, другие задачи теории поля; задачи гидромеханики, в частности, течение жидкости в пористой среде; задачи механики и прочности, в т.ч. проектирование самолётов, ракет и различных пространственных оболочек; и др. Для того чтобы понять сущность метода конечных элементов, рассмотрим одномерный перенос тепла в стержне. Одномерный перенос тепла в стержне Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения. Разделим его на некоторое количество одинаковых конечных элементов и будем рассматривать один из них (рисунок 1). Рисунок 1 – Элемент стержня круглого поперечного сечения. Каждый элемент имеет длину l и площадь поперечного сечения S. Предположим, что подвод тепла к элементу отсутствует, то есть 𝑞 𝑎 = 0. Будем считать, что на торцах выбранного элемента присутствует тепловой поток 𝑞 𝑠 , при этом боковая поверхность Sбок предполагается теплоизолированной. Направим ось координат вдоль стержня от 1 к 2. Будем считать, что на концах стержня поддерживается постоянная температура 𝑇1 𝑒 , 𝑇2 𝑒 . При этом вдоль стержня она изменяется по линейному закону 𝑇 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥, где х – координата вдоль оси стержня. Далее получаем, что 𝑇 0 = 𝑎1 = 𝑇1 𝑒 , 𝑇 𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑙 = 𝑇2 𝑒 . Из этих выражений следует, что 𝑎1 = 𝑇1 𝑒 , 𝑎2 = 𝑇2 𝑒−𝑇1 𝑒 𝑙 𝑎1 . Тогда получим 𝑇 𝑥 = 𝑇1 𝑒 + 𝑇2 𝑒−𝑇1 𝑒 𝑙 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑙 𝑇1 𝑒 + 𝑥 𝑙 𝑇2 𝑒 = 𝑁1 𝑥 𝑇1 𝑒 + 𝑁2 𝑥 𝑇2 𝑒 . Функции 𝑁1 ,𝑁2 являются одномерными линейными функциями формы. Для них справедливо, что в узле 1 𝑁1 = 1, 𝑁1 = 0 и наоборот. Более того, они имеют свойство полноты, то есть при любых значениях х выполняется следующее равенство 𝑁1 + 𝑁2 = 1. 14 Запишем функции формы в виде матрицы, то есть матрица формы для одномерного линейного элемента в нашем случае примет вид 𝑁 = 1 − 𝑥 𝑙 𝑥 𝑙 . Тогда изменение температуры вдоль оси элемента можно записать в виде произведения матрицы на столбец𝑇 𝑥 = 𝑁 {𝑇 𝑒 }, где 𝑇 𝑒 = 𝑇1 𝑒 𝑇2 𝑒 . Существуют различные типы конечных элементов: балочные (отрезок балки с заданным сечением), оболочечные (треугольник или четырехугольник), твердотельные или объемные (тетраэдр, шестигранный блок, у которого грани могут быть непараллельными и различными по длине). Не обязательно, чтобы размер элементов был одинаковым (далее мы увидим, что он скорее должен быть различным). Нумерация элементов и узлов произвольная. Однако необходимо, чтобы узлы соседних конечных элементов совпадали. Например, разбивка на рис. 2 является ошибочной, так как узел 4 элементов 1, 2, 3 не совпадает ни с одним узлом соседнего конечного элемента 5. В этом случае невозможно согласовать деформации и напряжения в элементах 1, 2, 3 и 5. Список литературы : 1.http://www.kipdla.ssau.ru/download/MKA_lecture.pdf 2. http://www.kipdla.ssau.ru/download/MKA_lecture.pdf# 3. http://moodle.mgau.ru/pluginfile.php/166957/ 4. https://ru.wikipedia.org 5.https://portal.tpu.ru/ |