Вариант№1. Контрольная работа по дисциплине Высшая математика часть 2

• Название: Контрольная работа по дисциплине Высшая математика часть 2
• Дата: 25.02.2022
• Размер: 90.31 Kb.
• Имя файла: Вариант№1.docx
• Тип: Контрольная работа; #373894

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и

информатики»

(СибГУТИ)

Инфокоммуникационные технологии и системы связи,


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Высшая математика часть 2»
Выполнил:

студент,

гр. ИСТ-13. Гаджиметов Кямран Аликович

25.02.2022 г.
Проверил:

Преподаватель

«__»_________ 2021 г. (подпись)

Вариант №1

Задание №1

Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины.



Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле:
Так как пластина однородная, то , и
Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху. Для этого достаточно знать две точки через которые она проходит:
В нашем случае, это точки

Следовательно, уравнение прямой:
Таким образом, область определяется как:


Вычислим интегралы, которые фигурируют в числителях:

Вычислим первую координату:
Вычислим вторую координату:


Ответ:

Задание №2

Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение:

Представим уравнение в виде:

Данное уравнение является линейным уравнением: , следовательно для его решения можно воспользоваться заменой:

Данный метод решения называется методом Бернулли


Найдем функцию , приравнивая выражение в скобках к нулю:

Выберем какое-либо частное решение и подставим в исходное уравнение:
Теперь, когда найдены оба сомножителя, то можно записать общее решение уравнения:
Ответ:


Задание №3

Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:

Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используя радикальный признак Коши:
По радикальному признаку Коши, данный ряд будет сходится, если:
Следовательно, интервал является областью абсолютной сходимости ряда:
Исследуем сходимость в граничных точках интервала:

Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда, а именно, общий член ряда не стремится к нулю.

Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница данный ряд расходится, так как по модулю общий член ряда не является монотонно убывающей последовательностью

Ответ: при ряд сходится абсолютно.

Задание №4

Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд:
Решение:

Зная разложение в ряд Маклорена экспоненты:
Запишем разложение :

Так как сходящийся числовой ряд можно почленно интегрировать, то:

Четвертое слагаемое меньше заданной точности, следовательно остаток знакочередующегося ряда не превышает 0,001.
Ответ: 0,011
Задание №5

По заданным условиям, построить область в комплексной плоскости.
Решение:

По определению . Следовательно, условия принимают вид:


Рассмотрим каждое условие, поочередно добавляя к уже имеющимся:

- вертикальная полоса

– внешность круга, с центром в точке радиуса 1.

– горизонтальная полоса




Задание №6

Вычислить значение функции комплексного переменного, результат представить в алгебраической форме.
Решение:

Логарифм комплексного числа вычисляется по формуле:
Найдем модуль и аргумент аргумента логарифма:

Ответ: