Ряды. Контрольная работа (Ряды) k 7 1

Контрольная работа (Ряды)

k = 7

№1

Методом неопределенных коэффициентов разложим на простейшие дроби:

Имеем:

Вычислим частичную сумму:

Перейдя к пределу:

Ответ:

№2

Проверим необходимое условие сходимости:

Не выполнен необходимый признак. Ряд расходится.

Ответ: расходится.

Исследуем по признаку Даламбера:

Используем признак Даламбера.

Перейдем к пределу:

Следовательно, ряд расходится.

Ответ: расходится.

Исследуем по радикальному признаку Коши.

Ряд расходится.

Ответ: расходится.

Применим признак сравнения и рассмотрим функцию:

Рассмотрим функцию:

функция на промежутке [1; +), следовательно, можно применить интегральный признак Коши.

Так как несобственный интеграл второго рода расходится, то исходный ряд расходится.

По предельному признаку сравнения:

Следовательно, оба ряда расходятся.

Ответ: расходится.

Используем признак Лейбница.

Первое условие выполняется.

По признаку Лейбница ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Сравним с гармоническим расходящимся рядом:

По предельному признаку сравнения:

Следовательно, оба ряда расходятся.

Тогда ряд сходится условно.

Ответ: сходится условно.

№3

Найдем область сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

p = 2 > 1, ряд сходится.

p = 2 > 1, ряд сходится.

Ответ: