Координаты вектора. Координаты вектора

• Название: Координаты вектора
• Дата: 23.05.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Координаты вектора.docx
• Тип: Документы; #545879

Координаты вектора.

В пространстве введем декартову систему координат. Определим векторы такие, что Х(1,0,0), У(0,1,0), Z(0,0,1). Свободные векторы, представителями которых являются векторы обозначим . Данные векторы некомпланарны, а, следовательно, образуют базис пространства. Все дальнейшие рассуждения будем проводить в этом базисе.

Рисунок



Базис является ортонормированным базисом.

Определение.

Пусть точка М – произвольная точка пространства. Тогда вектор называется радиус-вектором точки М.

Напомним определение координат вектора в фиксированном базисе.

Определение.

Упорядоченная тройка чисел (α, β, γ) в разложении вектора по базису ) называется координатой вектора в базисе .

Свойства координат вектора.

1. 
   Если векторы имеют в данном базисе координаты и , то вектор их суммы будет иметь координаты
   

.

Заметим, что данное утверждение верно для любого базиса, не только для ортонормированного.

Доказательство.

2. 
   Если вектор имеет в данном базисе координаты и α – некоторое вещественное число, то вектор α имеет координаты .
   

Заметим, что данное утверждение верно для любого базиса, не только для ортонормированного.

Доказательство провести самостоятельно, аналогично первому свойству.

3. 
   Пусть точка М имеет в декартовой системе координат следующие координаты: М(х,у,z). Тогда её координаты равны координатам её радиус-вектора в ортонормированном базисе ), .
   

Доказательство.

4. 
   Координаты вектора равны разности координат конца и начала.
   

(В школе это утверждение берётся за определение координат вектора)

Доказательство.

5. 
   Пусть вектор имеет в ортонормированном базисе координаты . Тогда длина вектора вычисляется по формуле:
   

| | = .

Для доказательства данного свойства возьмите представителя данного вектора с началом в точке О и воспользуйтесь формулой длины отрезка.

Определение.

Говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении , если выполнено равенство

.

Заметим, что это определение обобщает уже известное нам определение.

6. 
   Если точка С делит отрезок АВ в отношении и
   

А(х_А, у_А, z_А), В(х_В, у_В, z_В), С(х_С, у_С, z_С), то верны равенства

х_С = , у_С = , z_С =

Данное свойство непосредственно следует из свойств 2) и 4).

Определение.



Проекцией вектора на ось х называется число pr_x , равное

pr_x

Проекцией свободного вектора на ось x называется проекция его представителя на эту ось.

Данное определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителя.

Аналогично определяем проекцию вектора на ось у и ось z.

Задача.

Докажите, что проекция вектора на ось х равна произведению его длины и косинуса угла между вектором и вектором .

Свойство 7.

Пусть в пространстве введена декартова система координат и зафиксирован ортонормированный базис ). Тогда координатами произвольного вектора являются его проекции на координатные оси, т.е. pr_x , pr_y , pr_z ).

Доказательство.





Итог.

Координаты вектора в декартовой системе координат с введенным ортонормированным базисом ) можно находить тремя способами:

1. 
   как коэффициенты в разложении данного вектора по базису;
   
2. 
   как разности координат конца и начала данного вектора;
   
3. 
   как проекции данного вектора на координатные оси.